Pré-algèbre Exemples

$(\frac{1}{5}, 3)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 0$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5 \cdot 5} + 3 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 3 \cdot 0$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $\frac{1}{25}$ et $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25}$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 3^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 3^{2}}$

Étape 3.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 3^{2}}$

Étape 3.2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 3^{2}}$

Étape 3.2.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9}$

Étape 3.2.5

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9 \cdot \frac{25}{25}}$

Étape 3.2.6

Associez $9$ et $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{9 \cdot 25}{25}}$

Étape 3.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 25}{25}}$

Étape 3.2.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.1

Multipliez $9$ par $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 225}{25}}$

Étape 3.2.8.2

Additionnez $1$ et $225$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{226}{25}}$

Étape 3.2.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{226}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$

Étape 3.2.10

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.10.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 3.2.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{5}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 0^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 0^{2}}$

Étape 4.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 0^{2}}$

Étape 4.2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0^{2}}$

Étape 4.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0}$

Étape 4.2.5

Additionnez $\frac{1}{25}$ et $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25}}$

Étape 4.2.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$| b⃗ | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Étape 4.2.7

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{25}}$

Étape 4.2.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 4.2.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| b⃗ | = \frac{1}{5}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{\frac{1}{25}}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{226}}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5 \cdot 5}})$

Étape 6.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{25}})$

Étape 6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} (1 \frac{25}{\sqrt{226}}))$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{25}{\sqrt{226}}$ par $1$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Étape 6.6.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}})$

Étape 6.7

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{226}}$ par $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}} \cdot \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}})$

Étape 6.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{226}}$ par $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226} \sqrt{226}})$

Étape 6.8.2

Élevez $\sqrt{226}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} \sqrt{226}})$

Étape 6.8.3

Élevez $\sqrt{226}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} {\sqrt{226}}^{1}})$

Étape 6.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1 + 1}})$

Étape 6.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{2}})$

Étape 6.8.6

Réécrivez ${\sqrt{226}}^{2}$ comme $226$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{226}$ comme $226^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{(226^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{1}})$

Étape 6.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$

Étape 6.9

Évaluez $\arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$ .

$θ = 86.18592516$