Pré-algèbre Exemples

${(a - b)}^{3}$ , $a^{3} - b^{3}$ , $a^{2} - b^{2}$

Étape 1

Regroupez les termes.

${(a - b)}^{3} + a^{3} - b^{3} + a^{2} - b^{2}$

Étape 2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = a$ et $b = b$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + a^{2} - b^{2}$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a + b) (a - b)$

Étape 4

Factorisez $a - b$ à partir de $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a + b) (a - b)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $a - b$ à partir de $(a + b) (a - b)$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a - b) (a + b)$

Étape 4.2

Factorisez $a - b$ à partir de $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a - b) (a + b)$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 5

Factorisez $a - b$ à partir de ${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $a - b$ à partir de ${(a - b)}^{3}$ .

$(a - b) {(a - b)}^{2} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 5.2

Factorisez $a - b$ à partir de $(a - b) {(a - b)}^{2} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$ .

$(a - b) ({(a - b)}^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 6

Réécrivez ${(a - b)}^{2}$ comme $(a - b) (a - b)$ .

$(a - b) ((a - b) (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 7

Développez $(a - b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a - b) (a (a - b) - b (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a - b) (a \cdot a + a (- b) - b (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a - b) (a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$(a - b) (a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 8.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 8.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 8.1.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.4.1

Déplacez $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 8.1.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 8.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 8.1.6

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 8.2

Soustrayez $b a$ de $- a b$ .

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Étape 8.2.1

Déplacez $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 8.2.2

Soustrayez $a b$ de $- a b$ .

$(a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 9

Additionnez $a^{2}$ et $a^{2}$ .

$(a - b) (2 a^{2} - 2 a b + b^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Étape 10

Additionnez $- 2 a b$ et $a b$ .

$(a - b) (2 a^{2} + b^{2} - a b + b^{2} + a + b)$

Étape 11

Additionnez $b^{2}$ et $b^{2}$ .

$(a - b) (2 a^{2} + 2 b^{2} - a b + a + b)$