Pré-algèbre Exemples

$2 \sqrt[3]{x - 1} = \sqrt[3]{x^{2} + 2 x}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Étape 2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Étape 2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 {(x - 1)}^{1} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Étape 2.2.1.4

Simplifiez

$8 (x - 1) = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Étape 2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$8 x + 8 \cdot - 1 = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x \cdot x + 2 x}}^{3}$

Étape 2.3.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x \cdot x + x \cdot 2}}^{3}$

Étape 2.3.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x (x + 2)}}^{3}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x (x + 2)}}^{3}$ comme $x (x + 2)$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x (x + 2)}$ comme ${(x (x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ .

$8 x - 8 = {({(x (x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 2.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{3}{3}}$

Étape 2.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{3}{3}}$

Étape 2.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{1}$

Étape 2.3.1.2.5

Simplifiez

$8 x - 8 = x (x + 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 x - 8 = x \cdot x + x \cdot 2$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x - 8 = x^{2} + x \cdot 2$

Étape 2.3.1.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$8 x - 8 = x^{2} + 2 x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 2 x = 8 x - 8$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x - 8 x = - 8$

Étape 3.2.2

Soustrayez $8 x$ de $2 x$ .

$x^{2} - 6 x = - 8$

Étape 3.3

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 4, 2$