Pré-algèbre Exemples

$\frac{x - 8}{x + 5} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 8 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 8$

$x = - 5$

Étape 5

Consolidez les solutions.

$x = 8, - 5$

Étape 6

Déterminez le domaine de $\frac{x - 8}{x + 5}$ .

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 8}{x + 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 5 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 8$

$x > 8$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 8) - 8}{(- 8) + 5} < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $5.\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 8}{(0) + 5} < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 1.6$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(10) - 8}{(10) + 5} < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $0.1\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < 8$

Étape 10