Pré-algèbre Exemples

$12 x^{2} + x \sqrt{6} - 1 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 12$ , $b = \sqrt{6}$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4 \cdot (12 \cdot - 1)}}{2 \cdot 12}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 3.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 12 \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 48 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 48$ par $- 1$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 + 48}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.3

Additionnez $6$ et $48$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $54$ comme $3^{2} \cdot 6$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $54$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{9 (6)}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{24}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 12 \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 48 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 48$ par $- 1$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 + 48}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.3

Additionnez $6$ et $48$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $54$ comme $3^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $54$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{9 (6)}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{24}$

Étape 4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}}{24}$

Étape 4.4

Additionnez $- \sqrt{6}$ et $3 \sqrt{6}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{24}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $24$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt{6})}{24}$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt{6}}{12}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 5.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 12 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 48 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 48$ par $- 1$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 + 48}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.3

Additionnez $6$ et $48$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $54$ comme $3^{2} \cdot 6$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $54$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{9 (6)}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{24}$

Étape 5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} - 3 \sqrt{6}}{24}$

Étape 5.4

Soustrayez $3 \sqrt{6}$ de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 4 \sqrt{6}}{24}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $24$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{6}$ .

$x = \frac{4 (- \sqrt{6})}{24}$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{4 (- \sqrt{6})}{4 (6)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4 (- \sqrt{6})}{4 \cdot 6}$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- \sqrt{6}}{6}$

Étape 5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{\sqrt{6}}{12}, - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\sqrt{6}}{12}, - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Forme décimale :

$x = 0.20412414 \dots, - 0.40824829 \dots$