Pré-algèbre Exemples

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - 11 x + 28}}{x^{2 - x - 42}}}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $x^{2 - 11 x + 28}$ et $x^{2 - x - 42}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2 - x - 42}$ à partir de $x^{2 - 11 x + 28}$ .

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - x - 42} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{x^{2 - x - 42}}}$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - x - 42} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{x^{2 - x - 42} \cdot 1}}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - x - 42} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{x^{2 - x - 42} \cdot 1}}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{1}}$

Étape 1.2.4

Divisez $x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}$ par $1$ .

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $8$ comme $9$ plus $- 1$

$\frac{9 - 1 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Étape 3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{9 - {(1 - x)}^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = 1 - x$ .

$\frac{(3 + 1 - x) (3 - (1 - x))}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{(4 - x) (3 - (1 - x))}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 - x) (3 - 1 \cdot 1 - - x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(4 - x) (3 - 1 - - x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $- - x$ .

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(4 - x) (3 - 1 + 1 x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(4 - x) (3 - 1 + x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 3.5.5

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 4

Additionnez $2$ et $10$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x)}{x^{7 x + 12}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 5

Associez.

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 6

Multipliez $x^{7 x + 12}$ par $x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Étape 6.2

Soustrayez $42$ de $2$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 - (- x - 40)}}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 - - x - - 40}}$

Étape 6.3.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 + 1 x - - 40}}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 + x - - 40}}$

Étape 6.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 40$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 + x + 40}}$

Étape 6.4

Additionnez $- 11 x$ et $x$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 10 x + 30 + 40}}$

Étape 6.5

Additionnez $30$ et $40$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 10 x + 70}}$

Étape 6.6

Soustrayez $10 x$ de $7 x$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{- 3 x + 12 + 70}}$

Étape 6.7

Additionnez $12$ et $70$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 7

Multipliez $(4 - x) (2 + x)$ par $1$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x)}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 8

Développez $(4 - x) (2 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 + x) - x (2 + x)}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 x - x (2 + x)}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 x - x \cdot 2 - x \cdot x}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 + 4 x - x \cdot 2 - x \cdot x}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{8 + 4 x - 2 x - x \cdot x}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 9.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 + 4 x - 2 x - (x \cdot x)}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 9.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{8 + 4 x - 2 x - x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 9.2

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 10

Divisez la fraction $\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$ en deux fractions.

$\frac{8 + 2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{- x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 11

Divisez la fraction $\frac{8 + 2 x}{x^{- 3 x + 82}}$ en deux fractions.

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{- x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 12

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{- 3 x + 82}$ .

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Étape 12.1

Factorisez $x^{- 3 x + 82}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{x^{- 3 x + 82} (- x^{2 - (- 3 x + 82)})}{x^{- 3 x + 82}}$

Étape 12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{x^{- 3 x + 82} (- x^{2 - (- 3 x + 82)})}{x^{- 3 x + 82} \cdot 1}$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{x^{- 3 x + 82} (- x^{2 - (- 3 x + 82)})}{x^{- 3 x + 82} \cdot 1}$

Étape 12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{- x^{2 - (- 3 x + 82)}}{1}$

Étape 12.2.4

Divisez $- x^{2 - (- 3 x + 82)}$ par $1$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 - (- 3 x + 82)}$

Étape 13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 - (- 3 x) - 1 \cdot 82}$

Étape 13.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 + 3 x - 1 \cdot 82}$

Étape 13.3

Multipliez $- 1$ par $82$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 + 3 x - 82}$

Étape 14

Soustrayez $82$ de $2$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{3 x - 80}$