Pré-algèbre Exemples

$\frac{5 n + 5}{5 n^{2} + 35 n - 40} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun à $5 n + 5$ et $5 n^{2} + 35 n - 40$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 n$ .

$\frac{5 (n) + 5}{5 n^{2} + 35 n - 40} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (n) + 5 \cdot 1}{5 n^{2} + 35 n - 40} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (n) + 5 (1)$ .

$\frac{5 (n + 1)}{5 n^{2} + 35 n - 40} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 n^{2}$ .

$\frac{5 (n + 1)}{5 (n^{2}) + 35 n - 40} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.1.4.2

Factorisez $5$ à partir de $35 n$ .

$\frac{5 (n + 1)}{5 (n^{2}) + 5 (7 n) - 40} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.1.4.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (n^{2}) + 5 (7 n)$ .

$\frac{5 (n + 1)}{5 (n^{2} + 7 n) - 40} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.1.4.4

Factorisez $5$ à partir de $- 40$ .

$\frac{5 (n + 1)}{5 (n^{2} + 7 n) + 5 \cdot - 8} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.1.4.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (n^{2} + 7 n) + 5 \cdot - 8$ .

$\frac{5 (n + 1)}{5 (n^{2} + 7 n - 8)} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.1.4.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (n + 1)}{5 (n^{2} + 7 n - 8)} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.1.4.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{n + 1}{n^{2} + 7 n - 8} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.2

Factorisez $n^{2} + 7 n - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $7$ .

$- 1, 8$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{n + 1}{(n - 1) (n + 8)} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n + 1}{(n - 1) (n + 8)} + \frac{7 n}{3 n}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{n + 1}{(n - 1) (n + 8)} + \frac{7}{3}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{n + 1}{(n - 1) (n + 8)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{n + 1}{(n - 1) (n + 8)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{3}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{7}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(n - 1) (n + 8)}{(n - 1) (n + 8)}$ .

$\frac{n + 1}{(n - 1) (n + 8)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{3} \cdot \frac{(n - 1) (n + 8)}{(n - 1) (n + 8)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(n - 1) (n + 8) \cdot 3$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{n + 1}{(n - 1) (n + 8)}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(n + 1) \cdot 3}{(n - 1) (n + 8) \cdot 3} + \frac{7}{3} \cdot \frac{(n - 1) (n + 8)}{(n - 1) (n + 8)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{7}{3}$ par $\frac{(n - 1) (n + 8)}{(n - 1) (n + 8)}$ .

$\frac{(n + 1) \cdot 3}{(n - 1) (n + 8) \cdot 3} + \frac{7 ((n - 1) (n + 8))}{3 ((n - 1) (n + 8))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(n - 1) (n + 8) \cdot 3$ .

$\frac{(n + 1) \cdot 3}{3 (n + 8) (n - 1)} + \frac{7 ((n - 1) (n + 8))}{3 ((n - 1) (n + 8))}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $3 ((n - 1) (n + 8))$ .

$\frac{(n + 1) \cdot 3}{3 (n + 8) (n - 1)} + \frac{7 ((n - 1) (n + 8))}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(n + 1) \cdot 3 + 7 ((n - 1) (n + 8))}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 7 (n - 1) (n + 8)}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.2

Déplacez $3$ à gauche de $n$ .

$\frac{3 \cdot n + 1 \cdot 3 + 7 (n - 1) (n + 8)}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 \cdot n + 3 + 7 (n - 1) (n + 8)}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 n + 3 + (7 n + 7 \cdot - 1) (n + 8)}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.5

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{3 n + 3 + (7 n - 7) (n + 8)}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.6

Développez $(7 n - 7) (n + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 n + 3 + 7 n (n + 8) - 7 (n + 8)}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 n + 3 + 7 n \cdot n + 7 n \cdot 8 - 7 (n + 8)}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 n + 3 + 7 n \cdot n + 7 n \cdot 8 - 7 n - 7 \cdot 8}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1.1

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1.1.1

Déplacez $n$ .

$\frac{3 n + 3 + 7 (n \cdot n) + 7 n \cdot 8 - 7 n - 7 \cdot 8}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.7.1.1.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{3 n + 3 + 7 n^{2} + 7 n \cdot 8 - 7 n - 7 \cdot 8}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $8$ par $7$ .

$\frac{3 n + 3 + 7 n^{2} + 56 n - 7 n - 7 \cdot 8}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.7.1.3

Multipliez $- 7$ par $8$ .

$\frac{3 n + 3 + 7 n^{2} + 56 n - 7 n - 56}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.7.2

Soustrayez $7 n$ de $56 n$ .

$\frac{3 n + 3 + 7 n^{2} + 49 n - 56}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.8

Additionnez $3 n$ et $49 n$ .

$\frac{52 n + 3 + 7 n^{2} - 56}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.9

Soustrayez $56$ de $3$ .

$\frac{52 n + 7 n^{2} - 53}{3 (n + 8) (n - 1)}$

Étape 6.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{7 n^{2} + 52 n - 53}{3 (n + 8) (n - 1)}$