Pré-algèbre Exemples

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 z^{2} + 7}$

Étape 1

Simplifiez les deux côtés.

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Étape 1.1

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5 z^{2} + 7$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5 z^{2}$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 (z^{2}) + 7}$

Étape 1.1.2

Factorisez $0.5$ à partir de $7$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 z^{2} + 0.5 \cdot 14}$

Étape 1.1.3

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5 z^{2} + 0.5 \cdot 14$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 (z^{2} + 14)}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2 (1)}{0.5 (z^{2} + 14)}$

Étape 1.3

Séparez les fractions.

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5} \cdot \frac{1}{z^{2} + 14}$

Étape 1.4

Divisez $2$ par $0.5$ .

$\frac{2}{z - 5} = 4 \frac{1}{z^{2} + 14}$

Étape 1.5

Associez $4$ et $\frac{1}{z^{2} + 14}$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{4}{z^{2} + 14}$

Étape 2

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 3.1

Simplifiez $2 (z^{2} + 14)$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

Étape 3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 z^{2} + 2 \cdot 14 = (z - 5) \cdot 4$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $14$ .

$2 z^{2} + 28 = (z - 5) \cdot 4$

Étape 3.2

Simplifiez $(z - 5) \cdot 4$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 z^{2} + 28 = z \cdot 4 - 5 \cdot 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $z$ .

$2 z^{2} + 28 = 4 \cdot z - 5 \cdot 4$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$2 z^{2} + 28 = 4 z - 20$

Étape 3.3

Soustrayez $4 z$ des deux côtés de l’équation.

$2 z^{2} + 28 - 4 z = - 20$

Étape 3.4

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$2 z^{2} + 28 - 4 z + 20 = 0$

Étape 3.5

Additionnez $28$ et $20$ .

$2 z^{2} - 4 z + 48 = 0$

Étape 3.6

Factorisez $2$ à partir de $2 z^{2} - 4 z + 48$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 z^{2}$ .

$2 (z^{2}) - 4 z + 48 = 0$

Étape 3.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 z$ .

$2 (z^{2}) + 2 (- 2 z) + 48 = 0$

Étape 3.6.3

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$2 z^{2} + 2 (- 2 z) + 2 \cdot 24 = 0$

Étape 3.6.4

Factorisez $2$ à partir de $2 z^{2} + 2 (- 2 z)$ .

$2 (z^{2} - 2 z) + 2 \cdot 24 = 0$

Étape 3.6.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (z^{2} - 2 z) + 2 \cdot 24$ .

$2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$

Étape 3.7

Divisez chaque terme dans $2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.7.1

Divisez chaque terme dans $2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (z^{2} - 2 z + 24)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (z^{2} - 2 z + 24)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.7.2.1.2

Divisez $z^{2} - 2 z + 24$ par $1$ .

$z^{2} - 2 z + 24 = \frac{0}{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$z^{2} - 2 z + 24 = 0$

Étape 3.8

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.9

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 24$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 24)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 24$ .

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Étape 3.10.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $24$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 96}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.1.3

Soustrayez $96$ de $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 92}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.1.4

Réécrivez $- 92$ comme $- 1 (92)$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 92}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (92)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.1.7

Réécrivez $92$ comme $2^{2} \cdot 23$ .

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Étape 3.10.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $92$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{23})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2}$

Étape 3.10.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{23}$

Étape 3.11

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = 1 + i \sqrt{23}, 1 - i \sqrt{23}$