Pré-algèbre Exemples

$\sqrt{y + 11} = 2 + \sqrt{y - 2}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 11}}^{2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 11}$ comme ${(y + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(y + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 11)}^{1} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$y + 11 = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$ comme $(2 + \sqrt{y - 2}) (2 + \sqrt{y - 2})$ .

$y + 11 = (2 + \sqrt{y - 2}) (2 + \sqrt{y - 2})$

Étape 2.3.1.2

Développez $(2 + \sqrt{y - 2}) (2 + \sqrt{y - 2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + 11 = 2 (2 + \sqrt{y - 2}) + \sqrt{y - 2} (2 + \sqrt{y - 2})$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + 11 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} (2 + \sqrt{y - 2})$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 11 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 2 + \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 2 + \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$

Étape 2.3.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{y - 2}$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \cdot \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.3.1

Élevez $\sqrt{y - 2}$ à la puissance $1$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{1} \sqrt{y - 2}$

Étape 2.3.1.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{y - 2}$ à la puissance $1$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{1} {\sqrt{y - 2}}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{1 + 1}$

Étape 2.3.1.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{y - 2}}^{2}$ comme $y - 2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 2}$ comme ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.5

Simplifiez

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + y - 2$

Étape 2.3.1.3.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$y + 11 = 2 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + y$

Étape 2.3.1.3.3

Additionnez $2 \sqrt{y - 2}$ et $2 \sqrt{y - 2}$ .

$y + 11 = 2 + 4 \sqrt{y - 2} + y$

Étape 3

Résolvez $4 \sqrt{y - 2}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 + 4 \sqrt{y - 2} + y = y + 11$ .

$2 + 4 \sqrt{y - 2} + y = y + 11$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $4 \sqrt{y - 2}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sqrt{y - 2} + y = y + 11 - 2$

Étape 3.2.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sqrt{y - 2} = y + 11 - 2 - y$

Étape 3.2.3

Associez les termes opposés dans $y + 11 - 2 - y$ .

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$4 \sqrt{y - 2} = 0 + 11 - 2$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $0$ et $11$ .

$4 \sqrt{y - 2} = 11 - 2$

Étape 3.2.4

Soustrayez $2$ de $11$ .

$4 \sqrt{y - 2} = 9$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(4 \sqrt{y - 2})}^{2} = 9^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 2}$ comme ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(4 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16 {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 {(y - 2)}^{1} = 9^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$16 (y - 2) = 9^{2}$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$16 y + 16 \cdot - 2 = 9^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $16$ par $- 2$ .

$16 y - 32 = 9^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$16 y - 32 = 81$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1

Ajoutez $32$ aux deux côtés de l’équation.

$16 y = 81 + 32$

Étape 6.1.2

Additionnez $81$ et $32$ .

$16 y = 113$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $16 y = 113$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $16 y = 113$ par $16$ .

$\frac{16 y}{16} = \frac{113}{16}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 y}{16} = \frac{113}{16}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{113}{16}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = \frac{113}{16}$

Forme décimale :

$y = 7.0625$

Forme de nombre mixte :

$y = 7 \frac{1}{16}$