Pré-algèbre Exemples

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \div \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + x y}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x^{2} + x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x y$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x \cdot x + x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x \cdot x + x (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (y)$ .

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x}{x - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$(\frac{x}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- \frac{y}{x + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$(\frac{x}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - y) (x + y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{x}{x - y}$ par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$(\frac{x (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{y}{x + y}$ par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$(\frac{x (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{y (x - y)}{(x + y) (x - y)}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de $(x - y) (x + y)$ .

$(\frac{x (x + y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{y (x - y)}{(x + y) (x - y)}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + y) - y (x - y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x y - y (x - y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x y - y (x - y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x y - y x - y (- y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1.1

Déplacez $y$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7.5.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7.6

Soustrayez $y x$ de $x y$ .

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Étape 7.6.1

Déplacez $y$ .

$\frac{x^{2} + x y - x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7.6.2

Soustrayez $x y$ de $x y$ .

$\frac{x^{2} + 0 + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7.7

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(x + y) (x - y)} (x (x + y))$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $x + y$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $x + y$ à partir de $x (x + y)$ .

$\frac{1}{(x + y) (x - y)} ((x + y) x)$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + y) (x - y)} ((x + y) x)$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - y} x$

Étape 8.3

Associez $\frac{1}{x - y}$ et $x$ .

$\frac{x}{x - y}$