Pré-algèbre Exemples

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(0.25 \div \sqrt{2})}^{- x}$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25}{\sqrt{2}})}^{- x}$

Étape 2

Multipliez $\frac{0.25}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{- x}$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{0.25}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{- x}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{- x}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{- x}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{- x}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{- x}$

Étape 3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{- x}$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{- x}$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{- x}$

Étape 3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{- x}$

Étape 3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{- x}$

Étape 3.6.5

Évaluez l’exposant.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2})}^{- x}$

Étape 4

Multipliez $0.25$ par $\sqrt{2}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.35355339}{2})}^{- x}$

Étape 5

Divisez $0.35355339$ par $2$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {0.17677669}^{- x}$

Étape 6

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (0.125 \cdot 4^{2 x - 8}) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Étape 7

Développez le côté gauche.

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Étape 7.1

Réécrivez $\ln (0.125 \cdot 4^{2 x - 8})$ comme $\ln (0.125) + \ln (4^{2 x - 8})$ .

$\ln (0.125) + \ln (4^{2 x - 8}) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Étape 7.2

Développez $\ln (4^{2 x - 8})$ en déplaçant $2 x - 8$ hors du logarithme.

$\ln (0.125) + (2 x - 8) \ln (4) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Étape 8

Développez $\ln ({0.17677669}^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$\ln (0.125) + (2 x - 8) \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Étape 9

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (0.125) + 2 x \ln (4) - 8 \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Étape 10

Remettez dans l’ordre $\ln (0.125)$ et $2 x \ln (4)$ .

$2 x \ln (4) + \ln (0.125) - 8 \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Étape 11

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 x \ln (4) + \ln (0.125) - 8 \ln (4) + x \ln (0.17677669) = 0$

Étape 12

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1

Soustrayez $\ln (0.125)$ des deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (4) - 8 \ln (4) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125)$

Étape 12.2

Ajoutez $8 \ln (4)$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (4) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Étape 13

Factorisez $x$ à partir de $2 x \ln (4) + x \ln (0.17677669)$ .

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Étape 13.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x \ln (4)$ .

$x (2 \ln (4)) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Étape 13.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (0.17677669)$ .

$x (2 \ln (4)) + x (\ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Étape 13.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 \ln (4)) + x (\ln (0.17677669))$ .

$x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Étape 14

Divisez chaque terme dans $x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$ par $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ et simplifiez.

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Étape 14.1

Divisez chaque terme dans $x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$ par $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ .

$\frac{x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Étape 14.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ .

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Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Étape 14.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Étape 14.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- \ln (0.125) + 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Étape 14.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (0.125)$ .

$x = \frac{- \ln (0.125) + 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Étape 14.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $8 \ln (4)$ .

$x = \frac{- \ln (0.125) - (- 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Étape 14.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (0.125) - (- 8 \ln (4))$ .

$x = \frac{- (\ln (0.125) - 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Étape 14.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.5.1

Réécrivez $- (\ln (0.125) - 8 \ln (4))$ comme $- 1 (\ln (0.125) - 8 \ln (4))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (0.125) - 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Étape 14.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (0.125) - 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (0.125) - 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Forme décimale :

$x = 12.\overline{6}$