Pré-algèbre Exemples

$2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Étape 1

Factorisez $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Étape 1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Étape 1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $0.125$ .

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Étape 1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.25 + 5 \cdot 0.25 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Étape 1.3.5

Multipliez $5$ par $0.25$ .

$0.25 + 1.25 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Étape 1.3.6

Additionnez $0.25$ et $1.25$ .

$1.5 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Étape 1.3.7

Multipliez $3$ par $0.5$ .

$1.5 + 1.5 - 3$

Étape 1.3.8

Additionnez $1.5$ et $1.5$ .

$3 - 3$

Étape 1.3.9

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3}{2 x - 1}$

Étape 1.5

Divisez $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ par $2 x - 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$3$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							+	$6 x$	-	$3$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x - 3$

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 3 x + 3$

Étape 1.6

Écrivez $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4

Définissez $x^{2} + 3 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} + 3 x + 3$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Soustrayez $12$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$