Pré-algèbre Exemples

$x^{3} = \frac{64}{27}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{64}{27}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - \frac{64}{27} = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{64}{27}$ comme ${(\frac{4}{3})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{4}{3})}^{3} = 0$

Étape 2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = \frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + x (\frac{4}{3}) + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{x \cdot 4}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Étape 2.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 \cdot x}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $x$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4^{2}}{3^{2}}) = 0$

Étape 2.3.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3^{2}}) = 0$

Étape 2.3.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - \frac{4}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$

Étape 4

Définissez $x - \frac{4}{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - \frac{4}{3}$ égal à $0$ .

$x - \frac{4}{3} = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $\frac{4}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{4}{3}$

Étape 5

Définissez $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}$ égal à $0$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $9$ , puis simplifiez.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 x^{2} + 9 (\frac{4 x}{3}) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{4 x}{3}) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Étape 5.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{4 x}{3})) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Étape 5.2.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$9 x^{2} + 3 (4 x) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$9 x^{2} + 12 x + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Étape 5.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$9 x^{2} + 12 x + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Étape 5.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Étape 5.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.2.3

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = 12$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 16)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 16$ .

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Étape 5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.1.3

Soustrayez $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.1.4

Réécrivez $- 432$ comme $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (432)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.1.7

Réécrivez $432$ comme $12^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.4.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}) = 0$ vraie.

$x = \frac{4}{3}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$