Pré-algèbre Exemples

$x^{3} = \frac{125}{216}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{125}{216}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - \frac{125}{216} = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{125}{216}$ comme ${(\frac{5}{6})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{5}{6})}^{3} = 0$

Étape 2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = \frac{5}{6}$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + x (\frac{5}{6}) + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Associez $x$ et $\frac{5}{6}$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{x \cdot 5}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Étape 2.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 \cdot x}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $5$ par $x$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{6}$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{5^{2}}{6^{2}}) = 0$

Étape 2.3.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{6^{2}}) = 0$

Étape 2.3.6

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - \frac{5}{6} = 0$

$x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$

Étape 4

Définissez $x - \frac{5}{6}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - \frac{5}{6}$ égal à $0$ .

$x - \frac{5}{6} = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $\frac{5}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{5}{6}$

Étape 5

Définissez $x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}$ égal à $0$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $36$ , puis simplifiez.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$36 x^{2} + 36 (\frac{5 x}{6}) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$36 x^{2} + 6 (6) (\frac{5 x}{6}) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Étape 5.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$36 x^{2} + 6 \cdot (6 (\frac{5 x}{6})) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Étape 5.2.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$36 x^{2} + 6 (5 x) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$36 x^{2} + 30 x + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Étape 5.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 5.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$36 x^{2} + 30 x + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Étape 5.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$36 x^{2} + 30 x + 25 = 0$

Étape 5.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.2.3

Remplacez les valeurs $a = 36$ , $b = 30$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot (36 \cdot 25)}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1.1

Élevez $30$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 36 \cdot 25}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 36 \cdot 25$ .

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Étape 5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 144 \cdot 25}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 144$ par $25$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 3600}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.1.3

Soustrayez $3600$ de $900$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 2700}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.1.4

Réécrivez $- 2700$ comme $- 1 (2700)$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2700}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2700)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.1.7

Réécrivez $2700$ comme $30^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.4.1.7.1

Factorisez $900$ à partir de $2700$ .

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{900 (3)}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.1.7.2

Réécrivez $900$ comme $30^{2}$ .

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{30^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot (30 \sqrt{3})}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.1.9

Déplacez $30$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{2 \cdot 36}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $2$ par $36$ .

$x = \frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{72}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{72}$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{12}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{12}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{12}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}) = 0$ vraie.

$x = \frac{5}{6}, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{12}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{12}$