Pré-algèbre Exemples

$x^{3} - 34 x - 12 = 0$

Étape 1

Factorisez $x^{3} - 34 x - 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Étape 1.3

Remplacez $6$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $6$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $6$ dans le polynôme.

$6^{3} - 34 \cdot 6 - 12$

Étape 1.3.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$216 - 34 \cdot 6 - 12$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 34$ par $6$ .

$216 - 204 - 12$

Étape 1.3.4

Soustrayez $204$ de $216$ .

$12 - 12$

Étape 1.3.5

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $6$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 6$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 34 x - 12}{x - 6}$

Étape 1.5

Divisez $x^{3} - 34 x - 12$ par $x - 6$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$34 x$

$12$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 6 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$36 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{2} - 36 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							+	$2 x$	-	$12$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x - 12$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							-	$2 x$	+	$12$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							-	$2 x$	+	$12$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 6 x + 2$

Étape 1.6

Écrivez $x^{3} - 34 x - 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 6) (x^{2} + 6 x + 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Étape 3

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4

Définissez $x^{2} + 6 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} + 6 x + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 6$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Soustrayez $8$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{7}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x^{2} + 6 x + 2) = 0$ vraie.

$x = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Forme décimale :

$x = 6, - 0.35424868 \dots, - 5.64575131 \dots$