Pré-algèbre Exemples

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 x + 3} = 1$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{6 x + 7}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 (x) + 3} = 1$

Étape 1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 (x) + 3 (1)} = 1$

Étape 1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (1)$ .

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 (x + 1)} = 1$

Étape 1.2

Ajoutez $\sqrt{3 (x + 1)}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{6 x + 7} = 1 + \sqrt{3 (x + 1)}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{6 x + 7}}^{2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 x + 7}$ comme ${(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 x + 7)}^{1} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$6 x + 7 = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3 (x + 1)}) (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$ .

$6 x + 7 = (1 + \sqrt{3 (x + 1)}) (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(1 + \sqrt{3 (x + 1)}) (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x + 7 = 1 (1 + \sqrt{3 (x + 1)}) + \sqrt{3 (x + 1)} (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x + 7 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x + 7 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \cdot 1 + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$6 x + 7 = 1 + 1 \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \cdot 1 + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{3 (x + 1)}$ par $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \cdot 1 + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{3 (x + 1)}$ par $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{3 (x + 1)}$ à la puissance $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1} \sqrt{3 (x + 1)}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{3 (x + 1)}$ à la puissance $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1} {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3 (x + 1)}}^{2}$ comme $3 (x + 1)$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 (x + 1)}$ comme ${(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {({(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 (x + 1)$

Étape 3.3.1.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x + 3 \cdot 1$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x + 3$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$6 x + 7 = 4 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $\sqrt{3 (x + 1)}$ et $\sqrt{3 (x + 1)}$ .

$6 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x$

Étape 4

Résolvez $2 \sqrt{3 (x + 1)}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $4 + 2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x = 6 x + 7$ .

$4 + 2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x = 6 x + 7$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{3 (x + 1)}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x = 6 x + 7 - 4$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{3 (x + 1)} = 6 x + 7 - 4 - 3 x$

Étape 4.2.3

Soustrayez $3 x$ de $6 x$ .

$2 \sqrt{3 (x + 1)} = 3 x + 7 - 4$

Étape 4.2.4

Soustrayez $4$ de $7$ .

$2 \sqrt{3 (x + 1)} = 3 x + 3$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{3 (x + 1)})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 (x + 1)}$ comme ${(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(2 {(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(2 {(3 x + 3 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

${(2 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.4

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(3 x + 3)}^{1} = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Simplifiez

$4 (3 x + 3) = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 x) + 4 \cdot 3 = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez.

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Étape 6.2.1.5.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x + 4 \cdot 3 = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.5.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x + 12 = {(3 x + 3)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(3 x + 3)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(3 x + 3)}^{2}$ comme $(3 x + 3) (3 x + 3)$ .

$12 x + 12 = (3 x + 3) (3 x + 3)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(3 x + 3) (3 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 x + 12 = 3 x (3 x + 3) + 3 (3 x + 3)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 x + 12 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x + 3)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 x + 12 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 x + 12 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$12 x + 12 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$12 x + 12 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 9 x + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 9 x + 9 x + 9$

Étape 6.3.1.3.2

Additionnez $9 x$ et $9 x$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 18 x + 9$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 x^{2} + 18 x + 9 = 12 x + 12$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $12 x$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} + 18 x + 9 - 12 x = 12$

Étape 7.2.2

Soustrayez $12 x$ de $18 x$ .

$9 x^{2} + 6 x + 9 = 12$

Étape 7.3

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} + 6 x + 9 - 12 = 0$

Étape 7.4

Soustrayez $12$ de $9$ .

$9 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Étape 7.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{2} + 6 x - 3$ .

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Étape 7.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{2}$ .

$3 (3 x^{2}) + 6 x - 3 = 0$

Étape 7.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$3 (3 x^{2}) + 3 (2 x) - 3 = 0$

Étape 7.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (3 x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (- 1) = 0$

Étape 7.5.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$3 (3 x^{2} + 2 x) + 3 (- 1) = 0$

Étape 7.5.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x^{2} + 2 x) + 3 (- 1)$ .

$3 (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez.

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Étape 7.5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.5.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 7.5.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$3 (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

Étape 7.5.2.1.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$3 (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

Étape 7.5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

Étape 7.5.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.5.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$3 ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

Étape 7.5.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

Étape 7.5.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$3 ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

Étape 7.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (3 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 7.7

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 7.7.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 7.7.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 7.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 7.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 7.8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (3 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Forme décimale :

$x = 0.\overline{3}, - 1$