Pré-algèbre Exemples

$\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Étape 1

Factorisez $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24$ .

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Étape 1.4

Laissez $u = x^{\frac{1}{4}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{4}}$ par $u$ .

$u^{2} - 5 u - 24 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $u^{2} - 5 u - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 8, 3$

Étape 1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 8) (u + 3) = 0$

Étape 1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{\frac{1}{4}} - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{\frac{1}{4}} - 8$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{4}} = 8$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 8^{4}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 8^{4}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 8^{4}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.2.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$x = 4096$

Étape 4

Définissez $x^{\frac{1}{4}} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{\frac{1}{4}} + 3$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{4}} = - 3$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 3)}^{4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 3)}^{4}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 3)}^{4}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$x = 81$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$ vraie.

$x = 4096, 81$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$ vrai.

$x = 4096$