Pré-algèbre Exemples

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} + 2 e^{x} - 15 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = e^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x}$ par $u$ .

$u^{2} + 2 u - 15 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + 2 u - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u + 5) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

$e^{x} + 5 = 0$

Étape 3

Définissez $e^{x} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $e^{x} - 3$ égal à $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $e^{x} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{x} = 3$

Étape 3.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Étape 3.2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Étape 3.2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (3)$

Étape 4

Définissez $e^{x} + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $e^{x} + 5$ égal à $0$ .

$e^{x} + 5 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $e^{x} + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$e^{x} = - 5$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 5)$

Étape 4.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 5)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - 5$

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$ vraie.

$x = \ln (3)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (3)$

Forme décimale :

$x = 1.09861228 \dots$