Pré-algèbre Exemples

$8 x^{\frac{1}{3}} = x^{- \frac{2}{3}}$

Étape 1

Éliminez les exposants fractionnels en multipliant les deux exposants par le plus petit dénominateur commun.

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Étape 2

Simplifiez ${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $8 x^{\frac{1}{3}}$ .

$8^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Étape 2.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$512 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$512 x^{1} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Étape 2.4

Simplifiez

$512 x = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Étape 3

Simplifiez ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x = x^{- \frac{2}{3} \cdot 3}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$512 x = x^{- 2}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$512 x = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}$

Étape 4.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5

Multiplier chaque terme dans $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.1

Multipliez chaque terme dans $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ par $x^{2}$ .

$512 x \cdot x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$512 (x^{2} x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$512 (x^{2} x^{1}) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 5.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$512 x^{2 + 1} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$512 x^{3} = 1$

Étape 6

Résolvez l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$512 x^{3} - 1 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $512 x^{3}$ comme ${(8 x)}^{3}$ .

${(8 x)}^{3} - 1 = 0$

Étape 6.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(8 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 6.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 8 x$ et $b = 1$ .

$(8 x - 1) ({(8 x)}^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 6.2.4

Simplifiez

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Étape 6.2.4.1

Appliquez la règle de produit à $8 x$ .

$(8 x - 1) (8^{2} x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 6.2.4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 6.2.4.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1^{2}) = 0$

Étape 6.2.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$8 x - 1 = 0$

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $8 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $8 x - 1$ égal à $0$ .

$8 x - 1 = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $8 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x = 1$

Étape 6.4.2.2

Divisez chaque terme dans $8 x = 1$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x = 1$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Étape 6.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Étape 6.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Étape 6.5

Définissez $64 x^{2} + 8 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $64 x^{2} + 8 x + 1$ égal à $0$ .

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 64$ , $b = 8$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez

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Étape 6.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.3.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Étape 6.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 256$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.1.3

Soustrayez $256$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 192$ comme $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (192)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.1.7

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.5.2.3.1.7.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 64}$

Étape 6.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$

Étape 6.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{16}$

Étape 6.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{8}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$