Pré-algèbre Exemples

$x = {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1 = x$ .

${(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1 = x$

Étape 2

Appliquez la règle de produit à $\frac{a}{b}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} - 1 = x$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} - x = 1$

Étape 3.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = 1 + x$

Étape 4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}) = \ln (1 + x)$

Étape 5

Développez le côté gauche.

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Étape 5.1

Réécrivez $\ln (\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}})$ comme $\ln (a^{\frac{1}{n}}) - \ln (b^{\frac{1}{n}})$ .

$\ln (a^{\frac{1}{n}}) - \ln (b^{\frac{1}{n}}) = \ln (1 + x)$

Étape 5.2

Développez $\ln (a^{\frac{1}{n}})$ en déplaçant $\frac{1}{n}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{n} \ln (a) - \ln (b^{\frac{1}{n}}) = \ln (1 + x)$

Étape 5.3

Développez $\ln (b^{\frac{1}{n}})$ en déplaçant $\frac{1}{n}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{n} \ln (a) - (\frac{1}{n} \ln (b)) = \ln (1 + x)$

Étape 5.4

Associez $\frac{1}{n}$ et $\ln (a)$ .

$\frac{\ln (a)}{n} - (\frac{1}{n} \ln (b)) = \ln (1 + x)$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{n}$ et $\ln (b)$ .

$\frac{\ln (a)}{n} - \frac{\ln (b)}{n} = \ln (1 + x)$

Étape 6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1

Simplifiez $\frac{\ln (a)}{n} - \frac{\ln (b)}{n}$ .

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Étape 6.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (a) - \ln (b)}{n} = \ln (1 + x)$

Étape 6.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$

Étape 7

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 7.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$n, 1$

Étape 7.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$n$

Étape 8

Multiplier chaque terme dans $\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$ par $n$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$ par $n$ .

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} n = \ln (1 + x) n$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} n = \ln (1 + x) n$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{a}{b}) = \ln (1 + x) n$

Étape 9

Résolvez l’équation.

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ .

$\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ par $\ln (1 + x)$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ par $\ln (1 + x)$ .

$\frac{\ln (1 + x) n}{\ln (1 + x)} = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1 + x)$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (1 + x) n}{\ln (1 + x)} = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$