Pré-algèbre Exemples

$w^{4} - w = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{4} - w$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{4}$ .

$w \cdot w^{3} - w = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $w$ à partir de $- w$ .

$w \cdot w^{3} + w \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez $w$ à partir de $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ .

$w (w^{3} - 1) = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$w (w^{3} - 1^{3}) = 0$

Étape 1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = w$ et $b = 1$ .

$w ((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 1.4

Factorisez.

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Étape 1.4.1

Simplifiez

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $w$ par $1$ .

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2})) = 0$

Étape 1.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1)) = 0$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$w = 0$

$w - 1 = 0$

$w^{2} + w + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $w$ égal à $0$ .

$w = 0$

Étape 4

Définissez $w - 1$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 4.1

Définissez $w - 1$ égal à $0$ .

$w - 1 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$w = 1$

Étape 5

Définissez $w^{2} + w + 1$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 5.1

Définissez $w^{2} + w + 1$ égal à $0$ .

$w^{2} + w + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $w^{2} + w + 1 = 0$ pour $w$ .

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Étape 5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $w$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$w = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$ vraie.

$w = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$