Pré-algèbre Exemples

$\frac{1}{42^{2}} = \frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{42^{2}}$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{42^{2}}$

Étape 2

Élevez $42$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 x, 4 x^{2}, 1764$

Étape 3.2

Since $4 x, 4 x^{2}, 1764$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 4, 1764$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Étape 3.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.4

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2$

Étape 3.5

Les facteurs premiers pour $1764$ sont $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ .

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Étape 3.5.1

$1764$ a des facteurs de $2$ et $882$ .

$2 \cdot 882$

Étape 3.5.2

$882$ a des facteurs de $2$ et $441$ .

$2 \cdot 2 \cdot 441$

Étape 3.5.3

$441$ a des facteurs de $3$ et $147$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 147$

Étape 3.5.4

$147$ a des facteurs de $3$ et $49$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 49$

Étape 3.5.5

$49$ a des facteurs de $7$ et $7$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Étape 3.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ .

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Étape 3.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Étape 3.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Étape 3.6.3

Multipliez $12$ par $3$ .

$36 \cdot 7 \cdot 7$

Étape 3.6.4

Multipliez $36$ par $7$ .

$252 \cdot 7$

Étape 3.6.5

Multipliez $252$ par $7$ .

$1764$

Étape 3.7

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 3.8

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 3.9

Le plus petit multiple commun de $x^{1}, x^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x$

Étape 3.10

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2}$

Étape 3.11

Le plus petit multiple commun pour $4 x, 4 x^{2}, 1764$ est la partie numérique $1764$ multipliée par la partie variable.

$1764 x^{2}$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$ par $1764 x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$ par $1764 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 x} (1764 x^{2}) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1764 \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $1764$ .

$4 (441) \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$4 (441) \frac{1}{4 (x)} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 441 \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$441 \frac{1}{x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.3

Associez $441$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{441}{x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{441}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{441}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$441 x + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$441 x + 1764 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $1764$ .

$441 x + 4 (441) \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$441 x + 4 (441) \frac{5}{4 (x^{2})} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$441 x + 4 \cdot 441 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$441 x + 441 \frac{5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.7

Associez $441$ et $\frac{5}{x^{2}}$ .

$441 x + \frac{441 \cdot 5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.8

Multipliez $441$ par $5$ .

$441 x + \frac{2205}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.9

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.2.1.9.1

Annulez le facteur commun.

$441 x + \frac{2205}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.2.1.9.2

Réécrivez l’expression.

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $1764$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $1764$ à partir de $1764 x^{2}$ .

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 (x^{2}))$

Étape 4.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Étape 4.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$441 x + 2205 = x^{2}$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$441 x + 2205 - x^{2} = 0$

Étape 5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 441$ et $c = 2205$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 441 \pm \sqrt{441^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 2205)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1.1

Élevez $441$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 - 4 \cdot - 1 \cdot 2205}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 2205$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 + 4 \cdot 2205}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $2205$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 + 8820}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.1.3

Additionnez $194481$ et $8820$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{203301}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.1.4

Réécrivez $203301$ comme $21^{2} \cdot 461$ .

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Étape 5.4.1.4.1

Factorisez $441$ à partir de $203301$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{441 (461)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.1.4.2

Réécrivez $441$ comme $21^{2}$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{21^{2} \cdot 461}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{- 2}$

Étape 5.4.3

Simplifiez $\frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{- 2}$ .

$x = \frac{441 \pm 21 \sqrt{461}}{2}$

Étape 5.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{441 + 21 \sqrt{461}}{2}, \frac{441 - 21 \sqrt{461}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{441 + 21 \sqrt{461}}{2}, \frac{441 - 21 \sqrt{461}}{2}$

Forme décimale :

$x = 445.94456081 \dots, - 4.94456081 \dots$