Pré-algèbre Exemples

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \div \frac{16 k^{2} - 1}{4 k^{2} + 1 k - 5}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 k$ .

$\frac{4 k^{2} - 3 (k) - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$\frac{4 k^{2} + (1 - 4) k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 k^{2} + 1 k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 2.1.4

Multipliez $k$ par $1$ .

$\frac{4 k^{2} + k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 k^{2} + k) - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{k (4 k + 1) - (4 k + 1)}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 9 (k) + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $9$ comme $4$ plus $5$

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + (4 + 5) k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 4 k + 5 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(4 k^{2} + 4 k) + 5 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k (k + 1) + 5 (k + 1)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $1$ à partir de $1 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 (k) - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 4$ plus $5$

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + (- 4 + 5) k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} - 4 k + 5 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(4 k^{2} - 4 k) + 5 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k (k - 1) + 5 (k - 1)}{16 k^{2} - 1}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $k - 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{16 k^{2} - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $16 k^{2}$ comme ${(4 k)}^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{{(4 k)}^{2} - 1}$

Étape 5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{{(4 k)}^{2} - 1^{2}}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 k$ et $b = 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $4 k + 1$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{k - 1}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{4 k - 1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $4 k + 5$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $4 k + 5$ à partir de $(k + 1) (4 k + 5)$ .

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{4 k - 1}$

Étape 6.2.2

Factorisez $4 k + 5$ à partir de $(k - 1) (4 k + 5)$ .

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 5) (k - 1)}{4 k - 1}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 5) (k - 1)}{4 k - 1}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{k - 1}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{4 k - 1}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{k - 1}{k + 1}$ par $\frac{k - 1}{4 k - 1}$ .

$\frac{(k - 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Étape 7

Élevez $k - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Étape 8

Élevez $k - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} {(k - 1)}^{1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(k - 1)}^{1 + 1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{2}}{(k + 1) (4 k - 1)}$