Pré-algèbre Exemples

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} - 3 (x) - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + (1 - 4) x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + x - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x^{2} + x) - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x (4 x + 1) - (4 x + 1)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 1$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $3$ .

$- 2, 5$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 x + 5}{x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{x + 1}{2 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} - \frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 5) (2 - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3 x + 5}{x + 5}$ par $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(x + 5) (2 - x)} - \frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x + 1}{2 - x}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(x + 5) (2 - x)} - \frac{(x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 5) (2 - x)$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 x + 5) (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(3 x + 5) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (2 - x) + 5 (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 5 (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x + 3 x (- x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 x \cdot x + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 (x \cdot x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 10 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 10 - 5 x - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $5 x$ de $6 x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 + (- x - 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.5

Développez $(- x - 1) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x (x + 5) - 1 (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.6.2

Soustrayez $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 6 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.7

Soustrayez $6 x$ de $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.8

Soustrayez $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 10 - 5 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 6.9

Soustrayez $5$ de $10$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(- 1 (- x) - 2) (x + 5)}$

Étape 7.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(- 1 (- x) - 1 (2)) (x + 5)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (2)$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 8

Pour écrire $\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1}{(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 9.2

Réorganisez les facteurs de $(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1$ .

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 x^{2} \cdot - 1 - 5 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- (4 x) - 1 \cdot 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- 4 x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- 4 x - 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.6

Développez $(- 4 x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x (x - 1) - 1 (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.7.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.7.2

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.8

Soustrayez $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{5 x - 5 + 0 + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.9

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$\frac{5 x - 5 + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.10

Additionnez $5 x$ et $3 x$ .

$\frac{8 x - 5 + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.11

Additionnez $- 5$ et $1$ .

$\frac{8 x - 4}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.12

Factorisez $4$ à partir de $8 x - 4$ .

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Étape 11.12.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$\frac{4 (2 x) - 4}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.12.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 (2 x) + 4 (- 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 11.12.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 (2 x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Étape 12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- x + 2) (x + 5)}$

Étape 12.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- (x) + 2) (x + 5)}$

Étape 12.3

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 5)}$

Étape 12.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$- \frac{4 (2 x - 1)}{- (x - 2) (x + 5)}$

Étape 12.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.5.1

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$- \frac{4 (2 x - 1)}{- 1 (x - 2) (x + 5)}$

Étape 12.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 12.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 12.5.4

Multipliez $\frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$ par $1$ .

$\frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$