Pré-algèbre Exemples

$\frac{s}{s^{2} + 6 s + 9} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{s}{s^{2} + 6 s + 3^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Étape 1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 s = 2 \cdot s \cdot 3$

Étape 1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{s}{s^{2} + 2 \cdot s \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = s$ et $b = 3$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Étape 1.2

Factorisez $s^{2} + 4 s + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{s}{{(s + 3)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} \cdot \frac{s + 1}{s + 1} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{s + 3}{s + 3}$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} \cdot \frac{s + 1}{s + 1} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)} \cdot \frac{s + 3}{s + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(s + 1) {(s + 3)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{s}{{(s + 3)}^{2}}$ par $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)} \cdot \frac{s + 3}{s + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$ par $\frac{s + 3}{s + 3}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) (s + 3) (s + 3)}$

Étape 4.3

Élevez $s + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) ({(s + 3)}^{1} (s + 3))}$

Étape 4.4

Élevez $s + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) ({(s + 3)}^{1} {(s + 3)}^{1})}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) {(s + 3)}^{1 + 1}}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) {(s + 3)}^{2}}$

Étape 4.7

Réorganisez les facteurs de $(s + 1) {(s + 3)}^{2}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{s (s + 1) + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{s \cdot s + s \cdot 1 + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$\frac{s^{2} + s \cdot 1 + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Étape 6.3

Multipliez $s$ par $1$ .

$\frac{s^{2} + s + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{s^{2} + s + 5 s + 5 \cdot 3}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Étape 6.5

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{s^{2} + s + 5 s + 15}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Étape 6.6

Additionnez $s$ et $5 s$ .

$\frac{s^{2} + 6 s + 15}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$