Pré-algèbre Exemples

$\frac{7 x}{3 x^{2} - 2 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{7 x}{3 x^{2} - 2 (x) - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $6$ plus $- 8$

$\frac{7 x}{3 x^{2} + (6 - 8) x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x}{3 x^{2} + 6 x - 8 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{7 x}{(3 x^{2} + 6 x) - 8 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{7 x}{3 x (x + 2) - 8 (x + 2)} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$ par $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 x (x - 1) - 2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x (x - 1) - 2 x (3 x - 8)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x (x - 1)$ .

$\frac{x (7 (x - 1)) - 2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x (3 x - 8)$ .

$\frac{x (7 (x - 1)) + x (- 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (7 (x - 1)) + x (- 2 (3 x - 8))$ .

$\frac{x (7 (x - 1) - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (7 x + 7 \cdot - 1 - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 6.3

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{x (7 x - 7 - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (7 x - 7 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{x (7 x - 7 - 6 x - 2 \cdot - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 6.6

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$\frac{x (7 x - 7 - 6 x + 16)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 6.7

Soustrayez $6 x$ de $7 x$ .

$\frac{x (x - 7 + 16)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 6.8

Additionnez $- 7$ et $16$ .

$\frac{x (x + 9)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$