Pré-algèbre Exemples

$\frac{8}{x^{2} - 36} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{8}{x^{2} - 6^{2}} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 6^{2}}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{8}{(x + 6) (x - 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 6) {(x + 6)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{8}{(x + 6) (x - 6)}$ par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{8 (x + 6)}{(x + 6) (x - 6) (x + 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Étape 4.2

Élevez $x + 6$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1} (x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Étape 4.3

Élevez $x + 6$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1} {(x + 6)}^{1} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1 + 1} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)} - \frac{2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 (x + 6) - 2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $8 (x + 6) - 2 (x - 6)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 (x + 6)$ .

$\frac{2 (4 (x + 6)) - 2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (x - 6)$ .

$\frac{2 (4 (x + 6)) + 2 (- (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 (x + 6)) + 2 (- (x - 6))$ .

$\frac{2 (4 (x + 6) - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x + 4 \cdot 6 - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{2 (4 x + 24 - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x + 24 - x - - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{2 (4 x + 24 - x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.6

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$\frac{2 (3 x + 24 + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.7

Additionnez $24$ et $6$ .

$\frac{2 (3 x + 30)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.8

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 30$ .

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Étape 6.8.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{2 (3 (x) + 30)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.8.2

Factorisez $3$ à partir de $30$ .

$\frac{2 (3 x + 3 \cdot 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.8.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 10$ .

$\frac{2 (3 (x + 10))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

$\frac{2 \cdot 3 (x + 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Étape 6.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 (x + 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$