Pré-algèbre Exemples

$\frac{7 x}{x + 1} + \frac{8}{x - 1} - \frac{14}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{7 x}{x + 1} + \frac{8}{x - 1} - \frac{14}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{7 x}{x + 1} + \frac{8}{x - 1} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{7 x}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{8}{x - 1} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{8}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{7 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{8}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{7 x}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{8}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{8}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{8 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{8 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 x (x - 1) + 8 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 x (x - 1) + 8 (x + 1) - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x \cdot x + 7 x \cdot - 1 + 8 (x + 1) - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{7 (x \cdot x) + 7 x \cdot - 1 + 8 (x + 1) - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{7 x^{2} + 7 x \cdot - 1 + 8 (x + 1) - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{7 x^{2} - 7 x + 8 (x + 1) - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x^{2} - 7 x + 8 x + 8 \cdot 1 - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{7 x^{2} - 7 x + 8 x + 8 - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.1

Additionnez $- 7 x$ et $8 x$ .

$\frac{7 x^{2} + x + 8 - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 7.2

Soustrayez $14$ de $8$ .

$\frac{7 x^{2} + x - 6}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot - 6 = - 42$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 8.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{7 x^{2} + 1 x - 6}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 6$ plus $7$

$\frac{7 x^{2} + (- 6 + 7) x - 6}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x^{2} - 6 x + 7 x - 6}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(7 x^{2} - 6 x) + 7 x - 6}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (7 x - 6) + 1 (7 x - 6)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 x - 6$ .

$\frac{(7 x - 6) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(7 x - 6) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 x - 6}{x - 1}$