Pré-algèbre Exemples

$\frac{8 x v}{x^{2} - 4 v^{2}} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4 v^{2}$ comme ${(2 v)}^{2}$ .

$\frac{8 x v}{x^{2} - {(2 v)}^{2}} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2 v$ .

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - (2 v))} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - 2 v)} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 2 v}{x + 2 v}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2 v}{x - 2 v}$ .

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - 2 v)} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v} \cdot \frac{x - 2 v}{x - 2 v}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x - 2 v}{x + 2 v}$ par $\frac{x - 2 v}{x - 2 v}$ .

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - 2 v)} + \frac{(x - 2 v) (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 x v + (x - 2 v) (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(x - 2 v) (x - 2 v)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x v + x (x - 2 v) - 2 v (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x v + x \cdot x + x (- 2 v) - 2 v (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x v + x \cdot x + x (- 2 v) - 2 v x - 2 v (- 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{8 x v + x^{2} + x (- 2 v) - 2 v x - 2 v (- 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 v (- 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 \cdot - 2 v \cdot v}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.4.1

Déplacez $v$ .

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 \cdot - 2 (v \cdot v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.2.1.4.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 \cdot - 2 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 v x$ de $- 2 x v$ .

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 v x - 2 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $2 v x$ de $- 2 v x$ .

$\frac{8 x v + x^{2} - 4 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.3

Soustrayez $4 v x$ de $8 x v$ .

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Étape 4.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 v x - 4 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4 v x$ de $8 v x$ .

$\frac{x^{2} + 4 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.4.1

Réécrivez $4 v^{2}$ comme ${(2 v)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 v x + {(2 v)}^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 v x = 2 \cdot x \cdot (2 v)$

Étape 4.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot (2 v) + {(2 v)}^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 4.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2 v$ .

$\frac{{(x + 2 v)}^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à ${(x + 2 v)}^{2}$ et $x + 2 v$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x + 2 v$ à partir de ${(x + 2 v)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2 v) (x + 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2 v) (x + 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2 v}{x - 2 v}$