Pré-algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{x^{2} - 2 x - 8} - \frac{x - 5}{x^{2} - 12 x + 32}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{x - 5}{x^{2} - 12 x + 32}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 12 x + 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $32$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 8, - 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) (x + 2) (x - 8)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)}$ par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x - 4) (x + 2) (x - 8)} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x - 4) (x + 2) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 8) (x - 4) (x + 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 2) (x - 8)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 8) (x - 4) (x + 2)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 8) (x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 3) (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x + 3) (x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 8) + 3 (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 3 (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 8 + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 8 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 3 x - 24 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 8 x$ et $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.5

Développez $(- x + 5) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.6.2

Additionnez $- 2 x$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.7

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 5 x - 24 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.8

Additionnez $- 5 x$ et $0$ .

$\frac{- 5 x - 24 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.9

Additionnez $- 5 x$ et $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 24 + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.10

Additionnez $- 24$ et $10$ .

$\frac{- 2 x - 14}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.11

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x - 14$ .

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Étape 6.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 14}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.11.2

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 6.11.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (- 7)$ .

$\frac{2 (- x - 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 7.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (7)$ .

$\frac{2 (- (x + 7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $- (x + 7)$ comme $- 1 (x + 7)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x + 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$