Pré-algèbre Exemples

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{x^{2} - 12 x + 32}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 12 x + 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $32$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 8, - 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 2}{x - 8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3 x}{4 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 8) (4 - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x - 2}{x - 8}$ par $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3 x}{4 - x}$ par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 8) (4 - x)$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(4 - x) (x - 8)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 2) (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x - 2) (4 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (4 - x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 x - x \cdot x - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 8 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 8 + 2 x - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $4 x$ et $2 x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 8$ par $- 3$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 24 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.6

Additionnez $6 x$ et $24 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.7

Soustrayez $3 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.9

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2} + 30 x - 8$ .

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Étape 6.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.9.2

Factorisez $2$ à partir de $30 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.9.3

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.9.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 6.9.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 4)}$

Étape 7.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 1 (4))}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$ au numérateur.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

Étape 7.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

Étape 7.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 8) (- x + 4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4) - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.2.2

Multipliez $15$ par $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.2.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} - - 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.4

Multipliez $- 1$ par $- 88$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.5

Soustrayez $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x - 8 + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.6

Additionnez $- 8$ et $88$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7

Réécrivez $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ en forme factorisée.

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Étape 8.7.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ .

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Étape 8.7.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7.1.2

Factorisez $5$ à partir de $30 x$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7.1.3

Factorisez $5$ à partir de $80$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x^{2}) + 5 (6 x)$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.7.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ et dont la somme est $b = 6$ .

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Étape 8.7.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 (x) + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7.2.1.2

Réécrivez $6$ comme $- 2$ plus $8$

$\frac{5 (- x^{2} + (- 2 + 8) x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- x^{2} - 2 x + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.7.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{5 ((- x^{2} - 2 x) + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{5 (x (- x - 2) - 8 (- x - 2))}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 8.7.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 2$ .

$\frac{5 ((- x - 2) (x - 8))}{(- x + 4) (x - 8)}$

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (- x - 2)}{- x + 4}$

Étape 9.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{5 (- (x) - 2)}{- x + 4}$

Étape 9.3

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{5 (- (x) - 1 (2))}{- x + 4}$

Étape 9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{5 (- (x + 2))}{- x + 4}$

Étape 9.5

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- x + 4}$

Étape 9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) + 4}$

Étape 9.7

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) - 1 (- 4)}$

Étape 9.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x - 4)}$

Étape 9.9

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

Étape 9.10

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

Étape 9.11

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (x + 2)}{x - 4}$