Pré-algèbre Exemples

$\frac{x + y}{x^{2} - x y} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x + y}{x \cdot x - x y} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{x + y}{x \cdot x + x (- 1 y)} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{x + y}{x (x - 1 y)} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Étape 1.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{x + y}{x (x - y)} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + y}{x (x - y)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x + y}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{x - y}{x y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{x + y}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x - y}{x y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{2}{x - y}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x - y) y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x + y}{x (x - y)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x + y) y}{x (x - y) y} - \frac{x - y}{x y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{2}{x - y}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x - y}{x y}$ par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{(x + y) y}{x (x - y) y} - \frac{(x - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $x (x - y) y$ .

$\frac{(x + y) y}{x y (x - y)} - \frac{(x - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + y) y - (x - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y + y \cdot y - (x - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x y + y^{2} - (x - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y + y^{2} + (- x - - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.4

Multipliez $- - y$ .

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x y + y^{2} + (- x + 1 y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{x y + y^{2} + (- x + y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.5

Développez $(- x + y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y + y^{2} - x (x - y) + y (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y + y^{2} - x \cdot x - x (- y) + y (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y + y^{2} - x \cdot x - x (- y) + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x y + y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} - x (- y) + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + 1 x y + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.6.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + x y + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.6.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + x y + y x - y \cdot y}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.6.1.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.6.1.6.1

Déplacez $y$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + x y + y x - (y \cdot y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.6.1.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + x y + y x - y^{2}}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.6.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 6.1.6.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + x y + x y - y^{2}}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.6.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + 2 x y - y^{2}}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.7

Additionnez $x y$ et $2 x y$ .

$\frac{y^{2} - x^{2} + 3 x y - y^{2}}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.8

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x y + 0}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.9

Additionnez $- x^{2} + 3 x y$ et $0$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x y}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.10

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} + 3 x y$ .

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Étape 6.1.10.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 3 x y}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.10.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x y$ .

$\frac{x (- x) + x (3 y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.1.10.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x (3 y)$ .

$\frac{x (- x + 3 y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- x + 3 y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x + 3 y}{y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Étape 7

Pour écrire $- \frac{2}{x - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{- x + 3 y}{y (x - y)} - \frac{2}{x - y} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (x - y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{2}{x - y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{- x + 3 y}{y (x - y)} - \frac{2 y}{(x - y) y}$

Étape 8.2

Réorganisez les facteurs de $(x - y) y$ .

$\frac{- x + 3 y}{y (x - y)} - \frac{2 y}{y (x - y)}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + 3 y - 2 y}{y (x - y)}$

Étape 10

Soustrayez $2 y$ de $3 y$ .

$\frac{- x + y}{y (x - y)}$

Étape 11

Annulez le facteur commun à $- x + y$ et $x - y$ .

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Étape 11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + y}{y (x - y)}$

Étape 11.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{- (x) - 1 (- y)}{y (x - y)}$

Étape 11.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x - y)}{y (x - y)}$

Étape 11.4

Réécrivez $- (x - y)$ comme $- 1 (x - y)$ .

$\frac{- 1 (x - y)}{y (x - y)}$

Étape 11.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x - y)}{y (x - y)}$

Étape 11.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y}$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y}$