Pré-algèbre Exemples

$\frac{2 x}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{3}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{3}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 x}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 x}{(x + 1) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3}{(x + 1) (x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x}{(x + 1) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 2) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 2)}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 2) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{(x + 1) (x - 1)}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 2) (x - 1)} - \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) (x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{2 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x (x - 1) - 3 (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 3 (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 3 (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 3 (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 3 (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 3 x + 6}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.6

Soustrayez $3 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 6}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$