Pré-algèbre Exemples

$\frac{2 k^{2} + 3 k - 2}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 k$ .

$\frac{2 k^{2} + 3 (k) - 2}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$\frac{2 k^{2} + (- 1 + 4) k - 2}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 k^{2} - 1 k + 4 k - 2}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 k^{2} - 1 k) + 4 k - 2}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{k (2 k - 1) + 2 (2 k - 1)}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 k - 1$ .

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot 2 = 12$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 k$ .

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{6 k^{2} - 7 (k) + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 3$ plus $- 4$

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{6 k^{2} + (- 3 - 4) k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{6 k^{2} - 3 k - 4 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(6 k^{2} - 3 k) - 4 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{3 k (2 k - 1) - 2 (2 k - 1)} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 k - 1$ .

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 k$ .

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 (k) + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1$ plus $- 4$

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{4 k^{2} + (- 1 - 4) k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{4 k^{2} - 1 k - 4 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k^{2} - 1 k) - 4 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{k (4 k - 1) - (4 k - 1)}{k^{2} + k - 2}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 k - 1$ .

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{k^{2} + k - 2}$

Étape 4

Factorisez $k^{2} + k - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(k - 1) (k + 2)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $k + 2$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $k + 2$ à partir de $(2 k - 1) (k + 2)$ .

$\frac{(k + 2) (2 k - 1)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(k - 1) (k + 2)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $k + 2$ à partir de $(k - 1) (k + 2)$ .

$\frac{(k + 2) (2 k - 1)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(k + 2) (k - 1)}$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(k + 2) (2 k - 1)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(k + 2) (k - 1)}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 k - 1}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{k - 1}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{2 k - 1}{(2 k - 1) (3 k - 2)}$ par $\frac{(4 k - 1) (k - 1)}{k - 1}$ .

$\frac{(2 k - 1) ((4 k - 1) (k - 1))}{(2 k - 1) (3 k - 2) (k - 1)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $2 k - 1$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 k - 1) ((4 k - 1) (k - 1))}{(2 k - 1) (3 k - 2) (k - 1)}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(3 k - 2) (k - 1)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $k - 1$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(3 k - 2) (k - 1)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 k - 1}{3 k - 2}$