Pré-algèbre Exemples

$\frac{a^{2} - 36}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 6^{2}}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 6$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Étape 2

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a^{2} + 4 a b$ .

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Étape 2.1

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a^{2}$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a) + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Étape 2.2

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a b$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a) + 4 a (b)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Étape 2.3

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a (a) + 4 a (b)$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a^{2} + 2 a) + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Étape 3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{a (a + 2) + b (a + 2)}{a^{2} + 8 a + 12}$

Étape 3.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $a + 2$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a^{2} + 8 a + 12}$

Étape 4

Factorisez $a^{2} + 8 a + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $8$ .

$2, 6$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 2) (a + 6)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $a + 6$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $a + 6$ à partir de $(a + 2) (a + 6)$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 6) (a + 2)}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 6) (a + 2)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 6}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a + 2}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $a + b$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $a + b$ à partir de $4 a (a + b)$ .

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a + 2}$

Étape 5.2.2

Factorisez $a + b$ à partir de $(a + 2) (a + b)$ .

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + b) (a + 2)}{a + 2}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + b) (a + 2)}{a + 2}$

Étape 5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 6}{4 a} \cdot \frac{a + 2}{a + 2}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{a - 6}{4 a}$ par $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{4 a (a + 2)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $a + 2$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{4 a (a + 2)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 6}{4 a}$