Pré-algèbre Exemples

$\frac{a^{2} + a - 6}{a^{2} - a - 12} \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 16}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{a^{2} + a - 6}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4}$

Étape 2

Factorisez $a^{2} + a - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 2) (a + 3)}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4}$

Étape 3

Factorisez $a^{2} - a - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 2) (a + 3)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $a + 3$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 2) (a + 3)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{a^{2} - 4^{2}}{a^{2} - 4}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 4$ .

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{a^{2} - 4}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{a^{2} - 2^{2}}$

Étape 6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 2$ .

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $a - 2$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $a - 2$ à partir de $(a + 2) (a - 2)$ .

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{(a - 2) (a + 2)}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{(a - 2) (a + 2)}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{a + 2}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $a - 4$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $a - 4$ à partir de $(a + 4) (a - 4)$ .

$\frac{1}{a - 4} \cdot \frac{(a - 4) (a + 4)}{a + 2}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{a - 4} \cdot \frac{(a - 4) (a + 4)}{a + 2}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a + 4}{a + 2}$