Pré-algèbre Exemples

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} + 4 t^{3}}{t^{2} + 3 t}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Factorisez $2 t^{2}$ à partir de $2 t^{2} + 4 t^{3}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2 t^{2}$ à partir de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1) + 4 t^{3}}{t^{2} + 3 t}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2 t^{2}$ à partir de $4 t^{3}$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1) + 2 t^{2} (2 t)}{t^{2} + 3 t}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2 t^{2}$ à partir de $2 t^{2} (1) + 2 t^{2} (2 t)$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t^{2} + 3 t}$

Étape 1.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} + 3 t$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t \cdot t + 3 t}$

Étape 1.2.2

Factorisez $t$ à partir de $3 t$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t \cdot t + t \cdot 3}$

Étape 1.2.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t + t \cdot 3$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 2

Factorisez $t^{2} + 4 t + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- t$ .

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} - (t) - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $4$ plus $- 5$

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} + (4 - 5) t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} + 4 t - 5 t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(2 t^{2} + 4 t) - 5 t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t (t + 2) - 5 (t + 2)} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $t + 2$ .

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 4

Factorisez $t^{2} + 3 t + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $t + 1$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t + 3}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{t + 3}{(t + 2) (2 t - 5)}$ par $\frac{t}{t + 2}$ .

$\frac{(t + 3) t}{(t + 2) (2 t - 5) (t + 2)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 6

Élevez $t + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{1} (t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 7

Élevez $t + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{1} (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{1 + 1} (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Étape 10

Associez.

$\frac{(t + 3) t (2 t^{2} (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Étape 11

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Étape 11.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 11.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t^{1}) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Étape 11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(t + 3) t^{2 + 1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Étape 11.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(t + 3) t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Étape 12

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun de $t + 3$ .

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Étape 12.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(t + 3) t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Étape 12.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t)}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun à $t^{3}$ et $t$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3} (2 (1 + 2 t))$ .

$\frac{t (t^{2} (2 (1 + 2 t)))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t)}$

Étape 12.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.2.1

Factorisez $t$ à partir de ${(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t)$ .

$\frac{t (t^{2} (2 (1 + 2 t)))}{t ({(t + 2)}^{2} (2 t - 5))}$

Étape 12.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (t^{2} (2 (1 + 2 t)))}{t ({(t + 2)}^{2} (2 t - 5))}$

Étape 12.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{2} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Réécrivez.

$\frac{(t + 3) t (2 t^{2} (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.2.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 13.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t^{1}) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(t + 3) t^{2 + 1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(t + 3) t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.3

Réécrivez.

$\frac{t^{2} t (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.4

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 13.4.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{2} t^{1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{2 + 1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.6

Factorisez $t$ à partir de $t^{3}$ .

$\frac{t \cdot t^{2} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.7

Réécrivez.

$\frac{t^{2} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 13.8

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{t^{2} \cdot 2 (1 + 2 t)}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Étape 14

Déplacez $2$ à gauche de $t^{2}$ .

$\frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$