Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 12 x + 32}{8 x} - x^{2} - 8 x + 16$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 12 x + 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $32$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 8, - 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{8 x} - x^{2} - 8 x + 16$

Étape 2

Pour écrire $- x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8 x}{8 x}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{8 x} - x^{2} \cdot \frac{8 x}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $- x^{2}$ et $\frac{8 x}{8 x}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{8 x} + \frac{- x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 8) (x - 4) - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Développez $(x - 8) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 4) - 8 (x - 4) - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 - 8 (x - 4) - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4 - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4 - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.2.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 4 - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 4 x - 8 x + 32 - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $8 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 1 \cdot 8 x^{2} x}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{2})}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{2})}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 1 \cdot 8 x^{1 + 2}}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 1 \cdot 8 x^{3}}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 8 x^{3}}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7

Réécrivez $- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $x^{2} - 12 x + 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1.7.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $32$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 8, - 4$

Étape 4.1.7.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 8 x^{3} + (x - 8) (x - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 x^{3} + (x - 8) (x - 4)$ .

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Étape 4.1.7.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$\frac{- (8 x^{3}) + (x - 8) (x - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $(x - 8) (x - 4)$ .

$\frac{- (8 x^{3}) - ((- x + 8) (x - 4))}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 x^{3}) - ((- x + 8) (x - 4))$ .

$\frac{- (8 x^{3} + (- x + 8) (x - 4))}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.3

Développez $(- x + 8) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (8 x^{3} - x (x - 4) + 8 (x - 4))}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (8 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 4 + 8 (x - 4))}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (8 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 4 + 8 x + 8 \cdot - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- (8 x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 8 x + 8 \cdot - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- (8 x^{3} - x^{2} - x \cdot - 4 + 8 x + 8 \cdot - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{- (8 x^{3} - x^{2} + 4 x + 8 x + 8 \cdot - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.4.1.3

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$\frac{- (8 x^{3} - x^{2} + 4 x + 8 x - 32)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.1.7.4.2

Additionnez $4 x$ et $8 x$ .

$\frac{- (8 x^{3} - x^{2} + 12 x - 32)}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 x^{3} - x^{2} + 12 x - 32}{8 x} - 8 x + 16$

Étape 5

Pour écrire $- 8 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8 x}{8 x}$ .

$- \frac{8 x^{3} - x^{2} + 12 x - 32}{8 x} - 8 x \cdot \frac{8 x}{8 x} + 16$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez $- 8 x$ et $\frac{8 x}{8 x}$ .

$- \frac{8 x^{3} - x^{2} + 12 x - 32}{8 x} + \frac{- 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Étape 6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (8 x^{3} - x^{2} + 12 x - 32) - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (8 x^{3}) - - x^{2} - (12 x) - - 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{- 8 x^{3} - - x^{2} - (12 x) - - 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Étape 7.2.2

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 1 x^{2} - (12 x) - - 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - (12 x) - - 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Étape 7.2.3

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x - - 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Étape 7.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 32$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Étape 7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32 - 8 \cdot 8 x \cdot x}{8 x} + 16$

Étape 7.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32 - 8 \cdot 8 (x \cdot x)}{8 x} + 16$

Étape 7.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32 - 8 \cdot 8 x^{2}}{8 x} + 16$

Étape 7.5

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32 - 64 x^{2}}{8 x} + 16$

Étape 7.6

Soustrayez $64 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} - 12 x + 32}{8 x} + 16$

Étape 8

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8 x}{8 x}$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} - 12 x + 32}{8 x} + 16 \cdot \frac{8 x}{8 x}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Associez $16$ et $\frac{8 x}{8 x}$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} - 12 x + 32}{8 x} + \frac{16 (8 x)}{8 x}$

Étape 9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} - 12 x + 32 + 16 (8 x)}{8 x}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $16$ par $8$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} - 12 x + 32 + 128 x}{8 x}$

Étape 10.2

Additionnez $- 12 x$ et $128 x$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} + 116 x + 32}{8 x}$

Étape 11

Simplifiez en factorisant.

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Étape 11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$\frac{- (8 x^{3}) - 63 x^{2} + 116 x + 32}{8 x}$

Étape 11.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 63 x^{2}$ .

$\frac{- (8 x^{3}) - (63 x^{2}) + 116 x + 32}{8 x}$

Étape 11.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 x^{3}) - (63 x^{2})$ .

$\frac{- (8 x^{3} + 63 x^{2}) + 116 x + 32}{8 x}$

Étape 11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $116 x$ .

$\frac{- (8 x^{3} + 63 x^{2}) - (- 116 x) + 32}{8 x}$

Étape 11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 x^{3} + 63 x^{2}) - (- 116 x)$ .

$\frac{- (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x) + 32}{8 x}$

Étape 11.6

Réécrivez $32$ comme $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x) - 1 (- 32)}{8 x}$

Étape 11.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x - 32)}{8 x}$

Étape 11.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.8.1

Réécrivez $- (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x - 32)$ comme $- 1 (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x - 32)$ .

$\frac{- 1 (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x - 32)}{8 x}$

Étape 11.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x - 32}{8 x}$