Pré-algèbre Exemples

$\frac{3 y^{2} \cdot (13 y) + 4}{y^{2} - 16} \div \frac{4 y^{2} - 1}{2 y^{2} - 9 y + 4}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{3 y^{2} \cdot (13 y) + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \cdot 13 y^{2} y + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{3 \cdot 13 (y \cdot y^{2}) + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 2.2.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \cdot 13 (y^{1} y^{2}) + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \cdot 13 y^{1 + 2} + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot 13 y^{3} + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $13$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{y^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 4$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 y$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 (y) + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 1$ plus $- 8$

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + (- 1 - 8) y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} - 1 y - 8 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y^{2} - 1 y) - 8 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{y (2 y - 1) - 4 (2 y - 1)}{4 y^{2} - 1}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y - 1$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 4)}{4 y^{2} - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 4)}{{(2 y)}^{2} - 1}$

Étape 5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 4)}{{(2 y)}^{2} - 1^{2}}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 y$ et $b = 1$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 4)}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $y - 4$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $y - 4$ à partir de $(y + 4) (y - 4)$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y - 4) (y + 4)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 4)}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $y - 4$ à partir de $(2 y - 1) (y - 4)$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y - 4) (y + 4)} \cdot \frac{(y - 4) (2 y - 1)}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y - 4) (y + 4)} \cdot \frac{(y - 4) (2 y - 1)}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{39 y^{3} + 4}{y + 4} \cdot \frac{2 y - 1}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{39 y^{3} + 4}{y + 4}$ par $\frac{2 y - 1}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$ .

$\frac{(39 y^{3} + 4) (2 y - 1)}{(y + 4) ((2 y + 1) (2 y - 1))}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $2 y - 1$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(39 y^{3} + 4) (2 y - 1)}{(y + 4) ((2 y + 1) (2 y - 1))}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (2 y + 1)}$