Pré-algèbre Exemples

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez $\ln (4 x) + 2 \ln (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (4 x) + \ln (x^{2}) = 1.5$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x \cdot x^{2}) = 1.5$

Étape 2.1.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\ln (4 (x^{2} x)) = 1.5$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (4 (x^{2} x^{1})) = 1.5$

Étape 2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (4 x^{2 + 1}) = 1.5$

Étape 2.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$

Étape 3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (4 x^{3})} = e^{1.5}$

Étape 4

Réécrivez $\ln (4 x^{3}) = 1.5$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{1.5} = 4 x^{3}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{3} = e^{1.5}$ .

$4 x^{3} = e^{1.5}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = e^{1.5}$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = e^{1.5}$ par $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Étape 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$

Étape 5.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 5.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.4.3.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 5.4.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 5.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.4.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 5.4.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 5.4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Étape 5.4.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{16}}{4}$

Étape 5.4.4.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Étape 5.4.4.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Étape 5.4.4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Étape 5.4.4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{4}$

Étape 5.4.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2})}{4}$

Étape 5.4.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$

Étape 5.4.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Forme décimale :

$x = 1.03862931 \dots$