Pré-algèbre Exemples

ln (4 x) + 2 ln (x) = 1.5

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

ln (4 x) + 2 ln (x) = 1.5

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez

ln (4 x) + 2 ln (x)

$\ln (4 x) + 2 \ln (x)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez

2 ln (x)

$2 \ln (x)$ en déplaçant

2

$2$ dans le logarithme.

ln (4 x) + ln (x^{2}) = 1.5

$\ln (4 x) + \ln (x^{2}) = 1.5$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes,

{log}_{b} (x) + {log}_{b} (y) = {log}_{b} (x y)

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

ln (4 x \cdot x^{2}) = 1.5

$\ln (4 x \cdot x^{2}) = 1.5$

Étape 2.1.3

Multipliez

x

$x$ par

x^{2}

$x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1

Déplacez

x^{2}

$x^{2}$ .

ln (4 (x^{2} x)) = 1.5

$\ln (4 (x^{2} x)) = 1.5$

Étape 2.1.3.2

Multipliez

x^{2}

$x^{2}$ par

x

$x$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Élevez

x

$x$ à la puissance

1

$1$ .

ln (4 (x^{2} x^{1})) = 1.5

$\ln (4 (x^{2} x^{1})) = 1.5$

Étape 2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

ln (4 x^{2 + 1}) = 1.5

$\ln (4 x^{2 + 1}) = 1.5$

ln (4 x^{2 + 1}) = 1.5

$\ln (4 x^{2 + 1}) = 1.5$

Étape 2.1.3.3

Additionnez

2

$2$ et

1

$1$ .

ln (4 x^{3}) = 1.5

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$

ln (4 x^{3}) = 1.5

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$

ln (4 x^{3}) = 1.5

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$

ln (4 x^{3}) = 1.5

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$

Étape 3

Pour résoudre

x

$x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

e^{ln (4 x^{3})} = e^{1.5}

$e^{\ln (4 x^{3})} = e^{1.5}$

Étape 4

Réécrivez

ln (4 x^{3}) = 1.5

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si

x

$x$ et

b

$b$ sont des nombres réels positifs et

b \neq 1

$b \neq 1$ , alors

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ est équivalent à

$b^{y} = x$ .

$e^{1.5} = 4 x^{3}$

Étape 5

Résolvez

$x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme

$4 x^{3} = e^{1.5}$ .

$4 x^{3} = e^{1.5}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans

$4 x^{3} = e^{1.5}$ par

$4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans

$4 x^{3} = e^{1.5}$ par

$4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de

$4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez

$x^{3}$ par

$1$ .

$x^{3} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Étape 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$

Étape 5.4

Simplifiez

$\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ .

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Étape 5.4.1

Réécrivez

$\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ comme

$\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 5.4.2

Multipliez

$\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ par

$\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez

$\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ par

$\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.4.3.2

Élevez

$\sqrt[3]{4}$ à la puissance

$1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.4.3.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 5.4.3.4

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 5.4.3.5

Réécrivez

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme

$4$ .

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Étape 5.4.3.5.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt[3]{4}$ comme

$4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.4.3.5.3

Associez

$\frac{1}{3}$ et

$3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 5.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 5.4.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 5.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.4.1

Réécrivez

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme

$\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Étape 5.4.4.2

Élevez

$4$ à la puissance

$2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{16}}{4}$

Étape 5.4.4.3

Réécrivez

$16$ comme

$2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 5.4.4.3.1

Factorisez

$8$ à partir de

$16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Étape 5.4.4.3.2

Réécrivez

$8$ comme

$2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Étape 5.4.4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Étape 5.4.4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{4}$

Étape 5.4.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.4.5.1

Annulez le facteur commun à

$2$ et

$4$ .

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Étape 5.4.5.1.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2})}{4}$

Étape 5.4.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.5.1.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$

Étape 5.4.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

$\frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Forme décimale :

$x = 1.03862931 \dots$