Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 2 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $2$ .

$- 4, 6$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 7

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 8

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 4, - 6$

Étape 10

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = 4, - 6$

Étape 11

Consolidez les solutions.

$x = 1, 4, - 6$

Étape 12

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ .

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Étape 12.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 12.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $2$ .

$- 4, 6$

Étape 12.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Étape 12.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 12.2.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.2.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 12.2.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 12.2.4

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.2.4.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 12.2.4.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 12.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 4, - 6$

Étape 12.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 14.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 2 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{2} + 2 (- 8) - 24} > 0$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $3.375$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 14.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 24} > 0$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $- 0.041\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 14.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1}{{(2)}^{2} + 2 (2) - 24} > 0$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $- 0.0625$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 14.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} - 2 \cdot 6 + 1}{{(6)}^{2} + 2 (6) - 24} > 0$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $1.041\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < 1$ Faux

$1 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < 1$ Faux

$1 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 6$ ou $x > 4$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 6 or x > 4$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$

Étape 17