Pré-algèbre Exemples

$2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1} = 14$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (14)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1})$ comme $\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1})$ .

$\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

Étape 2.2

Développez $\ln (2^{2 x + 2})$ en déplaçant $2 x + 2$ hors du logarithme.

$(2 x + 2) \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

Étape 2.3

Développez $\ln (3^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(2 x + 2) \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (14)$

Étape 3.1.3

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (14)$

Étape 4

Déplacez $2 \ln (2)$ .

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) = \ln (14)$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) - \ln (14) = 0$

Étape 6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}) = 0$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $2 \ln (2)$ des deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{14}) = - 2 \ln (2)$

Étape 7.2

Soustrayez $\ln (\frac{3}{14})$ des deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Étape 8

Factorisez $x$ à partir de $2 x \ln (2) + x \ln (3)$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x \ln (2)$ .

$x (2 \ln (2)) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Étape 8.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (2 \ln (2)) + x (\ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Étape 8.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 \ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ par $2 \ln (2) + \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ par $2 \ln (2) + \ln (3)$ .

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \ln (2) + \ln (3)$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} - \frac{\ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 9.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (\frac{3}{14})$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.2.5.1

Réécrivez $- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ comme $- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ .

$x = \frac{- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Forme décimale :

$x = 0.06203479 \dots$