Pré-algèbre Exemples

2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0

$2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0$

Étape 1

Réécrivez

2^{x - 1}

$2^{x - 1}$ comme

2^{x} \cdot 2^{- 1}

$2^{x} \cdot 2^{- 1}$ .

2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 2

Réécrivez

2^{2 x}

$2^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

{(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

{(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 4

Remplacez

2^{x}

$2^{x}$ par

u

$u$ .

u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0

$u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0

$u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 5.2

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

u

$u$ .

u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 5.3

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0

$u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0$

Étape 5.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

4

$4$ .

u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

Étape 6

Additionnez

- 4

$- 4$ et

2

$2$ .

u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0$

Étape 7

Résolvez

u

$u$ .

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Étape 7.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun

2

$2$ , puis simplifiez.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0

$2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.2

Simplifiez

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Étape 7.1.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 7.1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans

- \frac{u}{2}

$- \frac{u}{2}$ dans le numérateur.

2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 u^{2} - u + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.2.2

Multipliez

$2$ par

$- 2$ .

$2 u^{2} - u - 4 = 0$

Étape 7.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.3

Remplacez les valeurs

$a = 2$ ,

$b = - 1$ et

$c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1.1

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

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Étape 7.4.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.1.2.2

Multipliez

$- 8$ par

$- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.1.3

Additionnez

$1$ et

$32$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.2

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

Étape 7.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Étape 8

Remplacez

$u$ par

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ dans

$u = 2^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Étape 9

Résolvez

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Étape 9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Étape 9.3

Développez

$\ln (2^{x})$ en déplaçant

$x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Étape 9.4

Divisez chaque terme dans

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ par

$\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 9.4.1

Divisez chaque terme dans

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ par

$\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Étape 9.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.4.2.1

Annulez le facteur commun de

$\ln (2)$ .

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Étape 9.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Étape 9.4.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Étape 10

Remplacez

$u$ par

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ dans

$u = 2^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Étape 11

Résolvez

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Étape 11.1

Réécrivez l’équation comme

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Étape 11.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$

Étape 11.3

L’équation ne peut pas être résolue car

$\ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 11.4

Il n’y a pas de solution pour

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Aucune solution

Étape 12

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)})$

Étape 15