Pré-algèbre Exemples

$2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0$

Étape 1

Réécrivez $2^{x - 1}$ comme $2^{x} \cdot 2^{- 1}$ .

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 2

Réécrivez $2^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 4

Remplacez $2^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Étape 5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

Étape 6

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0$

Étape 7

Résolvez $u$ .

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Étape 7.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.2

Simplifiez

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Étape 7.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{u}{2}$ dans le numérateur.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 u^{2} - u + 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 u^{2} - u - 4 = 0$

Étape 7.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.3

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 1$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

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Étape 7.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.1.3

Additionnez $1$ et $32$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

Étape 7.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Étape 8

Remplacez $u$ par $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ dans $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Étape 9

Résolvez $\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Étape 9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Étape 9.3

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Étape 9.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 9.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ par $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Étape 9.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 9.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Étape 9.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Étape 10

Remplacez $u$ par $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ dans $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Étape 11

Résolvez $\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Étape 11.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Étape 11.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$

Étape 11.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 11.4

Il n’y a pas de solution pour $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Aucune solution

Étape 12

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)})$

Étape 15