Pré-algèbre Exemples

$\frac{x - 3}{(x - 1) (x + 2)} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 3$

$x = 1$

$x = - 2$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = 3, 1, - 2$

Étape 7

Déterminez le domaine de $\frac{x - 3}{(x - 1) (x + 2)}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 3}{(x - 1) (x + 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 7.2.2

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.2.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 7.2.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7.2.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 7.2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 1, - 2$

Étape 7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 4) - 3}{((- 4) - 1) ((- 4) + 2)} < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 0.7$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 3}{((0) - 1) ((0) + 2)} < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $1.5$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(2) - 3}{((2) - 1) ((2) + 2)} < 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 0.25$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(6) - 3}{((6) - 1) ((6) + 2)} < 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $0.075$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 1$ Faux

$1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 1$ Faux

$1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $1 < x < 3$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 2 or 1 < x < 3$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (1, 3)$

Étape 12