Pré-algèbre Exemples

$\sqrt{3 x + 28} = 1 + \sqrt{x + 9}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 x + 28}}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + 28}$ comme ${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x + 28)}^{1} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$3 x + 28 = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$ .

$3 x + 28 = (1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$

Étape 2.3.1.2

Développez $(1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 28 = 1 (1 + \sqrt{x + 9}) + \sqrt{x + 9} (1 + \sqrt{x + 9})$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 28 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} (1 + \sqrt{x + 9})$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 28 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$3 x + 28 = 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{x + 9}$ par $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{x + 9}$ par $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{x + 9}$ à la puissance $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1} \sqrt{x + 9}$

Étape 2.3.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{x + 9}$ à la puissance $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1} {\sqrt{x + 9}}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1 + 1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{x + 9}}^{2}$ comme $x + 9$ .

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Étape 2.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 9}$ comme ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + x + 9$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $1$ et $9$ .

$3 x + 28 = 10 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + x$

Étape 2.3.1.3.3

Additionnez $\sqrt{x + 9}$ et $\sqrt{x + 9}$ .

$3 x + 28 = 10 + 2 \sqrt{x + 9} + x$

Étape 3

Résolvez $2 \sqrt{x + 9}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $10 + 2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28$ .

$10 + 2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{x + 9}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28 - 10$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{x + 9} = 3 x + 28 - 10 - x$

Étape 3.2.3

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$2 \sqrt{x + 9} = 2 x + 28 - 10$

Étape 3.2.4

Soustrayez $10$ de $28$ .

$2 \sqrt{x + 9} = 2 x + 18$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x + 9})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 9}$ comme ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 9)}^{1} = {(2 x + 18)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$4 (x + 9) = {(2 x + 18)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 9 = {(2 x + 18)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $4$ par $9$ .

$4 x + 36 = {(2 x + 18)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(2 x + 18)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(2 x + 18)}^{2}$ comme $(2 x + 18) (2 x + 18)$ .

$4 x + 36 = (2 x + 18) (2 x + 18)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(2 x + 18) (2 x + 18)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 36 = 2 x (2 x + 18) + 18 (2 x + 18)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 36 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x + 18)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 36 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Étape 5.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Étape 5.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $18$ par $2$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $18$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 36 x + 18 \cdot 18$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $18$ par $18$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 36 x + 324$

Étape 5.3.1.3.2

Additionnez $36 x$ et $36 x$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 72 x + 324$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} + 72 x + 324 = 4 x + 36$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 72 x + 324 - 4 x = 36$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4 x$ de $72 x$ .

$4 x^{2} + 68 x + 324 = 36$

Étape 6.3

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 68 x + 324 - 36 = 0$

Étape 6.4

Soustrayez $36$ de $324$ .

$4 x^{2} + 68 x + 288 = 0$

Étape 6.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 68 x + 288$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) + 68 x + 288 = 0$

Étape 6.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $68 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (17 x) + 288 = 0$

Étape 6.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $288$ .

$4 x^{2} + 4 (17 x) + 4 \cdot 72 = 0$

Étape 6.5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (17 x)$ .

$4 (x^{2} + 17 x) + 4 \cdot 72 = 0$

Étape 6.5.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} + 17 x) + 4 \cdot 72$ .

$4 (x^{2} + 17 x + 72) = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 17 x + 72$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $72$ et dont la somme est $17$ .

$8, 9$

Étape 6.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 ((x + 8) (x + 9)) = 0$

Étape 6.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x + 8) (x + 9) = 0$

Étape 6.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 8 = 0$

$x + 9 = 0$

Étape 6.7

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 6.7.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 6.8

Définissez $x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Définissez $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 6.8.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 6.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x + 8) (x + 9) = 0$ vraie.

$x = - 8, - 9$