Pré-algèbre Exemples

$\frac{x}{1 - x} > 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x}{1 - x} - 1 > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{1 - x} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{x}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} > 0$

Étape 2.2

Associez $- 1$ et $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{x}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x} > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - (1 - x)}{1 - x} > 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 1 \cdot 1 - - x}{1 - x} > 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1 - - x}{1 - x} > 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x - 1 + 1 x}{1 - x} > 0$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x - 1 + x}{1 - x} > 0$

Étape 2.4.4

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2 x - 1}{1 - x} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x - 1 = 0$

$1 - x = 0$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{1}{2}$

$x = 1$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = \frac{1}{2}, 1$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - x = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{0}{1 - (0)} > 1$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.75$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $0.75$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{0.75}{1 - (0.75)} > 1$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{1 - (4)} > 1$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 1.\overline{3}$ n’est pas supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{2} < x < 1$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{1}{2} < x < 1$

Notation d’intervalle :

$(\frac{1}{2}, 1)$

Étape 15