Pré-algèbre Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{x}{x^{2} - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x}{x^{2} - 1}$ par $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ par $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$ en forme factorisée.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x (x^{2} - 1)$ .

$\frac{x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x (x - x^{2} + 5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.2

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$\frac{x (u + 4 u^{2} - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x (4 u^{2} + u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.3.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 5.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x (4 u^{2} + 1 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.3.2.2

Réécrivez $1$ comme $- 4$ plus $5$

$\frac{x (4 u^{2} + (- 4 + 5) u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (4 u^{2} - 4 u + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x ((4 u^{2} - 4 u) + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (4 u (u - 1) + 5 (u - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 1$ .

$\frac{x ((u - 1) (4 u + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.4

Factorisez.

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Étape 5.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\frac{x ((x - 1) (4 x + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.5

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{2}$ .

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Étape 5.5.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x^{1} - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.5.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.5.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 + x (- x)) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.5.5

Multipliez $x$ par $1 - x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Étape 5.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1^{2})}$

Étape 5.7

Factorisez.

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Étape 5.7.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) ((x + 1) (x - 1))}$

Étape 5.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.8

Associez les exposants.

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Étape 5.8.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - x) (x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - (x)) (x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1 + x)) (x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.8.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (- 1 + x) (x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.8.6

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) (x + 1)}$

Étape 5.8.7

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) (x + 1)}$

Étape 5.8.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Étape 5.8.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Étape 5.9

Réduisez l’expression $\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Étape 5.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Étape 6

Réduisez l’expression $\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x + 5}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$