Pré-algèbre Exemples

$x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$

Étape 1

Factorisez $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Étape 1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{4} + 2 \cdot 2^{3} - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Étape 1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 + 2 \cdot 2^{3} - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Étape 1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$16 + 2 \cdot 8 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 + 16 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Étape 1.3.5

Additionnez $16$ et $16$ .

$32 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Étape 1.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$32 - 11 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 36$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 11$ par $4$ .

$32 - 44 - 12 \cdot 2 + 36$

Étape 1.3.8

Soustrayez $44$ de $32$ .

$- 12 - 12 \cdot 2 + 36$

Étape 1.3.9

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$- 12 - 24 + 36$

Étape 1.3.10

Soustrayez $24$ de $- 12$ .

$- 36 + 36$

Étape 1.3.11

Additionnez $- 36$ et $36$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36}{x - 2}$

Étape 1.5

Divisez $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ par $x - 2$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} - 8 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} + 6 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

Étape 1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

Étape 1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 18 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

Étape 1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

Étape 1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 18 x + 36$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

Étape 1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

$0$

Étape 1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Étape 1.6

Écrivez $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18)$

Étape 2

Factorisez $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Étape 2.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Étape 2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Étape 2.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 18$

Étape 2.3.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$8 + 16 - 3 \cdot 2 - 18$

Étape 2.3.5

Additionnez $8$ et $16$ .

$24 - 3 \cdot 2 - 18$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$24 - 6 - 18$

Étape 2.3.7

Soustrayez $6$ de $24$ .

$18 - 18$

Étape 2.3.8

Soustrayez $18$ de $18$ .

$0$

Étape 2.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$

Étape 2.5

Divisez $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ par $x - 2$ .

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Étape 2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

Étape 2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$

Étape 2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Étape 2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

Étape 2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Étape 2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $9 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Étape 2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Étape 2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $9 x - 18$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Étape 2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

Étape 2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 6 x + 9$

Étape 2.6

Écrivez $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 6 x + 9))$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 6 x + 3^{2}))$

Étape 3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}))$

Étape 3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x - 2) ((x - 2) {(x + 3)}^{2})$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) (x - 2) {(x + 3)}^{2}$

Étape 4

Associez les facteurs similaires.

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Étape 4.1

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

${(x - 2)}^{1} (x - 2) {(x + 3)}^{2}$

Étape 4.2

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} {(x + 3)}^{2}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 2)}^{1 + 1} {(x + 3)}^{2}$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}$