Pré-algèbre Exemples

$\frac{\frac{b^{2} - 6 b + 9}{b^{2} - b - 6}}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{b^{2} - 6 b + 9}{b^{2} - b - 6} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{b^{2} - 6 b + 3^{2}}{b^{2} - b - 6} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 b = 2 \cdot b \cdot 3$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{b^{2} - 2 \cdot b \cdot 3 + 3^{2}}{b^{2} - b - 6} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = b$ et $b = 3$ .

$\frac{{(b - 3)}^{2}}{b^{2} - b - 6} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Étape 3

Factorisez $b^{2} - b - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(b - 3)}^{2}}{(b - 3) (b + 2)} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à ${(b - 3)}^{2}$ et $b - 3$ .

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Étape 4.1

Factorisez $b - 3$ à partir de ${(b - 3)}^{2}$ .

$\frac{(b - 3) (b - 3)}{(b - 3) (b + 2)} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(b - 3) (b - 3)}{(b - 3) (b + 2)} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Pour écrire $b^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{b^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}$

Étape 5.2

Associez $b^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{b^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{b^{2} \cdot 4 - 9}{4}}$

Étape 5.4

Réécrivez $\frac{b^{2} \cdot 4 - 9}{4}$ en forme factorisée.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $b^{2} \cdot 4$ comme ${(b \cdot 2)}^{2}$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{{(b \cdot 2)}^{2} - 9}{4}}$

Étape 5.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{{(b \cdot 2)}^{2} - 3^{2}}{4}}$

Étape 5.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = b \cdot 2$ et $b = 3$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{(b \cdot 2 + 3) (b \cdot 2 - 3)}{4}}$

Étape 5.4.4

Simplifiez

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Étape 5.4.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $b$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{(2 \cdot b + 3) (b \cdot 2 - 3)}{4}}$

Étape 5.4.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $b$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{(2 b + 3) (2 b - 3)}{4}}$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{b - 3}{b + 2} (1 \frac{4}{(2 b + 3) (2 b - 3)})$

Étape 7

Multipliez $\frac{4}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$ par $1$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{4}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Étape 8

Multipliez $\frac{b - 3}{b + 2}$ par $\frac{4}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$ .

$\frac{(b - 3) \cdot 4}{(b + 2) ((2 b + 3) (2 b - 3))}$

Étape 9

Déplacez $4$ à gauche de $b - 3$ .

$\frac{4 (b - 3)}{(b + 2) (2 b + 3) (2 b - 3)}$