Pré-algèbre Exemples

$\frac{1 + \frac{1}{y}}{1 - \frac{1}{y^{2}}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $y^{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{1}{y}}{1 - \frac{1}{y^{2}}}$ par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{y}}{1 - \frac{1}{y^{2}}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{y^{2} (1 + \frac{1}{y})}{y^{2} (1 - \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \frac{1}{y}}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y \cdot y \frac{1}{y}}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y \cdot y \frac{1}{y}}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} \cdot 1$ .

$\frac{y (y \cdot 1) + y}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Étape 4.1.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y (y \cdot 1) + y^{1}}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Étape 4.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{y (y \cdot 1) + y \cdot 1}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Étape 4.1.4

Factorisez $y$ à partir de $y (y \cdot 1) + y \cdot 1$ .

$\frac{y (y \cdot 1 + 1)}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y (y + 1)}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $y^{2} \cdot 1$ comme ${(y \cdot 1)}^{2}$ .

$\frac{y (y + 1)}{{(y \cdot 1)}^{2} - 1}$

Étape 5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y (y + 1)}{{(y \cdot 1)}^{2} - 1^{2}}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y \cdot 1$ et $b = 1$ .

$\frac{y (y + 1)}{(y \cdot 1 + 1) (y \cdot 1 - 1)}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y (y + 1)}{(y + 1) (y \cdot 1 - 1)}$

Étape 5.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y (y + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (y + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{y - 1}$